Exercício 5. Sob condições ideais, a população de certa bactéria dobra a cada três horas. Supondo que, inicialmente, há 100 bactérias,
a) qual o tamanho da população após 15 horas?
b) Escreva uma função N(t) que descreve a população após t horas.
c) Utilizando \log _{2} 5 \approx 2,3, determine após quanto tempo a população atinge 50000 bactérias.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Informação 1: a população dobra a cada 3 horas.
  • Informação 2: população inicial N(0)=100.
    As perguntas são:
    a) qual o tamanho da população após 15 horas?
    b) escrever uma função N(t) que descreve a população após t horas;
    c) usando \log_{2}5\approx2,3, determinar após quanto tempo a população atinge 50000 bactérias.

Passo 2

Entendendo o modelo de dobramento (aula rápida e prática).
  • Se a população dobra a cada 3 horas, isso significa que a cada intervalo de 3 horas multiplica-se por 2.
  • Depois de n desses intervalos (cada um de 3 horas) a população será
N = N(0)\cdot 2^{n}.
  • Se o tempo em horas é t, o número de intervalos de 3 horas é n=\dfrac{t}{3}. Assim substituímos n por \dfrac{t}{3} para obter a fórmula contínua para qualquer t:
N(t)=N(0)\cdot 2^{t/3}.
Aqui:
  • N(t) é a população após t horas,
  • N(0) é a população inicial ( 100 no problema),
  • o expoente t/3 conta quantas vezes a população dobrou no tempo t.

Passo 3

Resolver a letra (a) usando a fórmula.
  • Já temos N(t)=100\cdot 2^{t/3}.
  • Para t=15 horas, o expoente é t/3=15/3=5. Portanto
N(15)=100\cdot 2^{5}.
  • Calcule 2^{5}: 2^{5}=32. Então
N(15)=100\cdot 32=3200.
Interpretação: após 15 horas a população será 3200 bactérias.

Passo 4

Responder a letra (b) escrevendo explicitamente a função (já derivada, com explicação das variáveis).
A função que descreve a população após t horas é
N(t)=100\cdot 2^{t/3},
onde t está em horas e N(t) é o número de bactérias.

Passo 5

Resolver a letra (c): determinar t tal que N(t)=50000.
  • Partimos da equação
100\cdot 2^{t/3}=50000.
  • Dividindo ambos os lados por 100:
2^{t/3}= \frac{50000}{100}=500.
  • Aplicamos logaritmo na base 2 (definição: \log_{2}x é o expoente ao qual se eleva 2 para obter x):
\frac{t}{3}=\log_{2}500.
  • Para calcular \log_{2}500 fatoramos 500. Note que
500=2^{2}\cdot 5^{3},
logo, usando propriedades de logaritmo ( \log_{2}(ab)=\log_{2}a+\log_{2}b e \log_{2}(a^{k})=k\log_{2}a),
\log_{2}500=\log_{2}(2^{2}\cdot 5^{3})=2+3\log_{2}5.
  • Usando a aproximação dada \log_{2}5\approx 2,3,
\frac{t}{3}\approx 2+3\cdot 2,3=2+6,9=8,9.
  • Multiplicando por 3:
t\approx 3\cdot 8,9=26,7\\ \text{horas}.
  • Se quiser converter para horas e minutos: 0,7 horas é 0,7\cdot 60=42 minutos, então cerca de 26 horas e 42 minutos.

Resposta

a) 3200
b) N(t)=100\cdot 2^{t/3}
c) t\approx 26,7\\ \text{horas}

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