Exercício 5. Sob condições ideais, a população de certa bactéria dobra a cada três horas. Supondo que, inicialmente, há 100 bactérias,
a) qual o tamanho da população após 15 horas?
b) Escreva uma função
que descreve a população após
horas.
c) Utilizando
, determine após quanto tempo a população atinge 50000 bactérias.
a) qual o tamanho da população após 15 horas?
b) Escreva uma função
c) Utilizando
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
- Informação 1: a população dobra a cada
horas. - Informação 2: população inicial
.
As perguntas são:
a) qual o tamanho da população apóshoras?
b) escrever uma funçãoque descreve a população após horas;
c) usando, determinar após quanto tempo a população atinge bactérias.
Passo 2
Entendendo o modelo de dobramento (aula rápida e prática).
- Se a população dobra a cada
horas, isso significa que a cada intervalo de horas multiplica-se por . - Depois de
desses intervalos (cada um de horas) a população será
- Se o tempo em horas é
, o número de intervalos de horas é . Assim substituímos por para obter a fórmula contínua para qualquer :
Aqui:
-
é a população após horas, -
é a população inicial ( no problema), - o expoente
conta quantas vezes a população dobrou no tempo .
Passo 3
Resolver a letra (a) usando a fórmula.
- Já temos
. - Para
horas, o expoente é . Portanto
- Calcule
: . Então
Interpretação: após
horas a população será
bactérias.
Passo 4
Responder a letra (b) escrevendo explicitamente a função (já derivada, com explicação das variáveis).
A função que descreve a população após horas é
A função que descreve a população após
onde
está em horas e
é o número de bactérias.
Passo 5
Resolver a letra (c): determinar
tal que
.
- Partimos da equação
- Dividindo ambos os lados por
:
- Aplicamos logaritmo na base
(definição: é o expoente ao qual se eleva para obter ):
- Para calcular
fatoramos . Note que
logo, usando propriedades de logaritmo (
e
),
- Usando a aproximação dada
,
- Multiplicando por
:
- Se quiser converter para horas e minutos:
horas é minutos, então cerca de horas e minutos.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)