Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4 x+3}}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4x+3}}{x^{2}-1}.
Informações relevantes dadas (condições que aparecem no enunciado):
  • O radicando da raiz quadrada é x^{2}-4x+3. Para a raiz quadrada estar definida em números reais, é necessário que
x^{2}-4x+3 \ge 0.
  • O denominador é x^{2}-1. A função não pode ter denominador zero, portanto é preciso exigir
x^{2}-1 \ne 0.

Passo 2

Resolver a condição da raiz: x^{2}-4x+3\ge 0. Primeiro fatoro o polinômio:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
As raízes da equação x^{2}-4x+3=0 são x=1 e x=3. Para entender onde o produto (x-1)(x-3) é não negativo, uso um raciocínio de sinais (ou tabela de sinais):
  • Para x<1: ambos fatores x-1 e x-3 são negativos, então o produto é positivo.
  • Para 1<x<3: x-1>0 mas x-3<0, produto negativo.
  • Para x>3: ambos positivos, produto positivo.
  • Em x=1 ou x=3 o produto é zero.
Assim
x^{2}-4x+3\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,1]\cup[3,\infty).

Passo 3

Resolver a condição do denominador: x^{2}-1\ne 0. Fatorando,
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
então as raízes são x=1 e x=-1. Precisamos excluir essas duas abscissas:
x\ne \pm 1.

Passo 4

Agora faço a interseção entre os valores permitidos pela raiz e a exclusão das raízes do denominador.
Os x que satisfazem a raiz são x\in(-\infty,1]\cup[3,\infty). Desses, devo retirar x=1 e x=-1.
  • Tirando x=-1 de (-\infty,1] obtém-se (-\infty,-1)\cup(-1,1].
  • Tirando também x=1 transforma (-\infty,-1)\cup(-1,1] em (-\infty,-1)\cup(-1,1).
  • O intervalo [3,\infty) não contém \pm1, então permanece [3,\infty).
Portanto a interseção final é
(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup[3,\infty).

Passo 5

Verificações pontuais (para ganhar confiança):
  • x=0 pertence a (-1,1): radicando 0^2-4\cdot0+3=3\ge0 e denominador -1\ne0 → permitido.
  • x=1: radicando 0 mas denominador 0 → indefinido, excluir.
  • x=-1: denominador 0 → excluir.
  • x=3: radicando 0 e denominador 3^2-1=8\ne0 x=3 é permitido (a função vale 0 aí).

Resposta

(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup[3,\infty)

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