Determine o domínio das seguintes funções:
g(x)=\ln \left(\frac{x+2}{x-3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função g(x)=\ln\!\left(\dfrac{x+2}{x-3}\right). Informações relevantes que já temos:
  • A função logarítmica natural \ln(t) está definida somente para argumentos positivos, ou seja, precisamos de t>0.
  • Aqui o argumento é a função racional \dfrac{x+2}{x-3}.
  • Como \dfrac{x+2}{x-3} tem denomindor x-3, devemos garantir x\neq3 para evitar divisão por zero.
  • Portanto, o problema se reduz a encontrar os valores de x tais que
\frac{x+2}{x-3}>0,
com a ressalva x\neq3.

Passo 2

Vamos entender a desigualdade \dfrac{x+2}{x-3}>0. Essa é uma desigualdade envolvendo uma função racional. A ideia padrão é:
  • identificar os pontos críticos que anulam numerador ou denominador;
  • dividir a reta real em intervalos por esses pontos;
  • analisar o sinal da expressão em cada intervalo.
Os pontos críticos são soluções de x+2=0 e x-3=0, isto é x=-2 e x=3. Note que em x=-2 o numerador é zero, em x=3 o denominador é zero.

Passo 3

Explicando por que esses pontos são importantes:
  • Em x=-2 a fração vale 0. Como precisamos de argumento estritamente positivo para o \ln, o ponto x=-2 não pode pertencer ao domínio (porque \ln(0) não existe).
  • Em x=3 a expressão é indefinida (divisão por zero), então x=3 também não pertence ao domínio.
  • Esses dois pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,3) e (3,\infty). Em cada intervalo a razão \dfrac{x+2}{x-3} mantém sinal constante (porque numerador e denominador não mudam de sinal dentro de um intervalo sem passar por uma raiz).

Passo 4

Agora testamos o sinal da fração em cada intervalo usando um ponto teste simples por intervalo.
Intervalo (-\infty,-2): escolha x=-3.
\frac{-3+2}{-3-3}=\frac{-1}{-6}=\frac{1}{6}>0.
Logo a fração é positiva em (-\infty,-2).

Passo 5

Intervalo (-2,3): escolha x=0.
\frac{0+2}{0-3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}<0.
Logo a fração é negativa em (-2,3), portanto esses x não servem para o argumento do log.

Passo 6

Intervalo (3,\infty): escolha x=4.
\frac{4+2}{4-3}=\frac{6}{1}=6>0.
Logo a fração é positiva em (3,\infty).

Passo 7

Conclusão da resolução da desigualdade: a condição \dfrac{x+2}{x-3}>0 é satisfeita para x\in(-\infty,-2) e para x\in(3,\infty). Devemos lembrar de excluir os pontos x=-2 (argumento zero) e x=3 (denominador zero), o que já está respeitado nas intervalos abertos.

Passo 8

Interpretação final: o domínio de g é a união dos dois intervalos onde o argumento do log é positivo:
(-\infty,-2)\cup(3,\infty).

Resposta

\,(-\infty,-2)\cup(3,\infty)\,

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