Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
. Informações relevantes que já temos:
- A função logarítmica natural
está definida somente para argumentos positivos, ou seja, precisamos de . - Aqui o argumento é a função racional
. - Como
tem denomindor , devemos garantir para evitar divisão por zero. - Portanto, o problema se reduz a encontrar os valores de
tais que
com a ressalva
.
Passo 2
Vamos entender a desigualdade
. Essa é uma desigualdade envolvendo uma função racional. A ideia padrão é:
- identificar os pontos críticos que anulam numerador ou denominador;
- dividir a reta real em intervalos por esses pontos;
- analisar o sinal da expressão em cada intervalo.
Os pontos críticos são soluções de
e
, isto é
e
. Note que em
o numerador é zero, em
o denominador é zero.
Passo 3
Explicando por que esses pontos são importantes:
- Em
a fração vale . Como precisamos de argumento estritamente positivo para o , o ponto não pode pertencer ao domínio (porque não existe). - Em
a expressão é indefinida (divisão por zero), então também não pertence ao domínio. - Esses dois pontos dividem a reta em três intervalos:
, e . Em cada intervalo a razão mantém sinal constante (porque numerador e denominador não mudam de sinal dentro de um intervalo sem passar por uma raiz).
Passo 4
Agora testamos o sinal da fração em cada intervalo usando um ponto teste simples por intervalo.
Intervalo
: escolha
.
Logo a fração é positiva em
.
Passo 5
Intervalo
: escolha
.
Logo a fração é negativa em
, portanto esses
não servem para o argumento do log.
Passo 6
Intervalo
: escolha
.
Logo a fração é positiva em
.
Passo 7
Conclusão da resolução da desigualdade: a condição
é satisfeita para
e para
. Devemos lembrar de excluir os pontos
(argumento zero) e
(denominador zero), o que já está respeitado nas intervalos abertos.
Passo 8
Interpretação final: o domínio de
é a união dos dois intervalos onde o argumento do log é positivo: