Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=raizx|x|-1

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=raizxlvert xrvert-1
O conteúdo principal é analisar quando o radicando está definido e não-negativo. Para isso precisamos garantir:
  1. O denominador lvert xrvert-1 não pode ser zero.
  2. O quociente dfracxlvert xrvert-1 deve ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Impondo as duas condições simultaneamente temos
lvert xrvert - 1 neq 0 e xlvert xrvert - 1 >= 0
A primeira dá lvert xrvert neq 1, ou seja xneq 1 e xneq -1. A segunda é uma inequação que trataremos separando x>=0 e x<0.

Passo 3

Caso x>= 0, temos lvert xrvert = x e a inequação vira
xx-1>= 0, xneq 1
O numerador x é não-negativo e só é zero em x=0. O denominador x-1 é positivo para x>1 e negativo para 0<= x<1. Logo
  • Em x=0: 0-1=0, aceitável.
  • Para x>0: o quociente é >=0 quando x-1>0, isto é x>1.
    Portanto, do ramo x>=0 obtemos
xin0;cup;(1,infty)

Passo 4

Caso x<0, temos lvert xrvert=-x e a inequação vira
x-x-1>= 0, xneq -1
O numerador x é negativo. O denominador -x-1 é negativo se -x-1<0iff x>-1 (lembrando x<0). Para a fração ser não-negativa precisamos numerador e denominador terem o mesmo sinal (ambos negativos), logo
-1<x<0

Passo 5

Fazendo a união dos dois ramos e excluindo x=pm1, o domínio de f é
(-1,0];cup;(1,infty)

Resposta

(-1,0]cup(1,infty)

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