Determine o domínio das seguintes funções:
g(x)=\frac{1}{x-5}

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\frac{1}{x-5} e pede para determinarmos o domínio dessa função.
Informações fornecidas: a expressão de g(x) é \frac{1}{x-5}.
Pergunta que devemos responder: “Quais valores de x podem ser usados em g(x) sem que a expressão deixe de ter sentido?”

Passo 2

Vamos entender o que significa “domínio”.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função está bem definida (faz sentido matematicamente). No nosso caso, a expressão é uma fração. Uma regra importante sobre frações: o denominador nunca pode ser zero, porque divisão por zero não é definida na matemática elementar. Então, para encontrar o domínio de g, precisamos garantir que o denominador x-5 não seja zero.

Passo 3

Impondo a condição “denominador diferente de zero”, escrevemos:
x-5 \neq 0.
Agora resolvemos essa desigualdade simples para x. Somando 5 em ambos os lados (operação que preserva a desigualdade), temos:
x \neq 5.
Isto significa que todo número real exceto 5 é permitido.

Passo 4

Interpretação prática: se tentarmos inserir x=5 na função, obtemos g(5)=\frac{1}{5-5}=\frac{1}{0}, que é uma expressão sem sentido (divisão por zero), logo x=5 está proibido. Para qualquer outro x real a fração é válida.

Passo 5

Expressões equivalentes para o domínio que você pode usar na prova: notação em conjunto (set-builder) e notação de intervalos. Ambas dizem a mesma coisa:
\text{Dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 5\}
\text{Dom}(g)=(-\infty,5)\cup(5,\infty)

Resposta

\text{Dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 5\}
\text{Dom}(g)=(-\infty,5)\cup(5,\infty)

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