Determine o domínio das seguintes funções:
p(x)=\frac{x+2}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o domínio da função racional p(x)=\frac{x+2}{x^{2}-9}.
Informações dadas: a função é explicitamente \displaystyle p(x)=\frac{x+2}{x^{2}-9}.
A pergunta é: para quais valores de x a expressão está bem definida (ou seja, para quais x a função existe como número real)?

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): o domínio de uma função é o conjunto de valores de entrada x para os quais a expressão que define a função faz sentido. No caso de frações (funções racionais), a única restrição que costuma aparecer é que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Portanto, para p(x) devemos garantir que o denominador x^{2}-9 seja diferente de zero:
x^{2}-9 \neq 0.

Passo 3

Agora vou encontrar os valores de x que tornam o denominador zero, porque esses serão os valores que precisamos excluir do domínio. Resolvo a equação
x^{2}-9=0.
Uso a fatoração conhecida como diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aplicando com a=x e b=3,
x^{2}-9=(x-3)(x+3).

Passo 4

Com a fatoração, a equação x^{2}-9=0 fica
(x-3)(x+3)=0.
Um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero, então
x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3,
ou
x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3.
Portanto, para x=3 e para x=-3 o denominador é zero e a função não está definida nesses pontos.

Passo 5

Conclusão prática: excluímos x=3 e x=-3 do conjunto dos números reais. Todos os outros valores reais são permitidos (se eu testar, por exemplo, x=0 obtenho p(0)=\frac{0+2}{0-9}=\frac{2}{-9}=-\frac{2}{9}, que é um número bem definido). Assim o domínio é o conjunto dos reais sem os pontos -3 e 3.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}
(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty)

Exercícios relacionados