[3, Ex. 1 e 5,p.8] Esboce os campos vetoriais abaixo, sendo o esboco do item (d) somente sobre a parábola
.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o campo vetorial dado por
com
, mas o esboço deve ser feito somente sobre a parábola
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Passo 2
Calcular
(explicando passo a passo o que é derivada parcial).\n
A derivada parcial em relação a trata
como constante; a derivada parcial em relação a
trata
como constante. Assim:
A derivada parcial em relação a
Portanto:
Isto significa que em qualquer ponto
o vetor do campo tem componente horizontal
e componente vertical
.
Passo 3
Especializar o campo aos pontos da parábola
.\n
Como não depende de
, o valor em um ponto da parábola
é simplesmente
Como
Observação geométrica importante (útil na prova): o gradiente é sempre perpendicular às curvas de nível de
. A parábola
é a curva de nível
. O vetor tangente à parábola é
(pois
), e o produto escalar entre
e
é
logo
é ortogonal ao tangente da parábola — ou seja, o gradiente é normal à parábola naquele ponto. Na prática: os vetores que vamos desenhar são as normais à parábola.
Passo 4
Interpretação das componentes e do sentido dos vetores (como usar isso para desenhar sem calculadora).\n
- A componente vertical é sempre
, positiva, então todo vetor aponta um pouco para cima. - A componente horizontal é
: se então (vetor aponta para a esquerda e para cima); se então (aponta para a direita e para cima); se o vetor é vertical para cima. - O comprimento (norma) do vetor em
é
que cresce quando
aumenta — ou seja, longe da origem os vetores ficam maiores.
- A inclinação do vetor (slope) é
(definida para ); para o vetor é vertical.
Passo 5
Escolher pontos representativos na parábola e calcular os vetores para esboçar (prática de desenho).\n
Vou calcular em alguns
fáceis; esses são vetores que você desenha na parábola em cada ponto
:
Vou calcular
Como orientação para desenhar:
- Desenhe a parábola
. - Em cada ponto
trace um vetor com direção e sentido dados pelos pares acima. Não precisa desenhar na escala exata: mantenha a proporção horizontal/vertical aproximada (por exemplo, desenhe mais longo que , e com mesmo comprimento horizontal e vertical). - Lembre-se: à esquerda da origem os vetores inclinados para a direita e para cima; à direita da origem inclinados para a esquerda e para cima; na origem vertical para cima.
Passo 6
Resumo final e dica para a prova (como justificar rapidamente).\n
- Resultado direto e rápido:
. - Sobre a parábola
o vetor é , normal à parábola naquele ponto. - Justifique em prova dizendo: calculei as derivadas parciais, obtive
; como a parábola é nível o gradiente é normal a ela; use alguns pontos para ilustrar o esboço.
Resposta
Vetor em
Exemplos: