[3, Ex. 1 e 5,p.8] Esboce os campos vetoriais abaixo, sendo o esboco do item (d) somente sobre a parábola y=x^{2}.
(d) \mathbf{F}=\nabla f, \quad f(x, y)=y-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo vetorial dado por \mathbf{F}=\nabla f com f(x,y)=y-x^{2}, mas o esboço deve ser feito somente sobre a parábola \;y=x^{2}.\n
Informações fornecidas:
f(x,y)=y-x^{2}
\text{domínio: plano }(x,y)\text{ (mas esboçar apenas sobre }y=x^{2}\text{)}íç
\mathbf{F}=\nabla f

Passo 2

Calcular \nabla f (explicando passo a passo o que é derivada parcial).\n
A derivada parcial em relação a x trata y como constante; a derivada parcial em relação a y trata x como constante. Assim:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y-x^{2})=-2x,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y-x^{2})=1.
Portanto:
\mathbf{F}(x,y)=\nabla f(x,y)=(-2x,\,1).
Isto significa que em qualquer ponto (x,y) o vetor do campo tem componente horizontal -2x e componente vertical 1.

Passo 3

Especializar o campo aos pontos da parábola \;y=x^{2}.\n
Como \nabla f não depende de y, o valor em um ponto da parábola (x,x^{2}) é simplesmente
\mathbf{F}(x,x^{2})=(-2x,\,1).
Observação geométrica importante (útil na prova): o gradiente é sempre perpendicular às curvas de nível de f. A parábola y=x^{2} é a curva de nível f(x,y)=0. O vetor tangente à parábola é (1,2x) (pois dy/dx=2x), e o produto escalar entre (-2x,1) e (1,2x) é
(-2x,1)\cdot(1,2x)=-2x+2x=0,
logo (-2x,1) é ortogonal ao tangente da parábola — ou seja, o gradiente é normal à parábola naquele ponto. Na prática: os vetores que vamos desenhar são as normais à parábola.

Passo 4

Interpretação das componentes e do sentido dos vetores (como usar isso para desenhar sem calculadora).\n
  • A componente vertical é sempre 1, positiva, então todo vetor aponta um pouco para cima.
  • A componente horizontal é -2x: se x>0 então -2x<0 (vetor aponta para a esquerda e para cima); se x<0 então -2x>0 (aponta para a direita e para cima); se x=0 o vetor é vertical para cima.
  • O comprimento (norma) do vetor em (x,x^{2}) é
\|\mathbf{F}(x,x^{2})\|=\sqrt{(-2x)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4x^{2}+1},
que cresce quando |x| aumenta — ou seja, longe da origem os vetores ficam maiores.
  • A inclinação do vetor (slope) é \dfrac{1}{-2x}=-\dfrac{1}{2x} (definida para x\neq0); para x=0 o vetor é vertical.

Passo 5

Escolher pontos representativos na parábola e calcular os vetores para esboçar (prática de desenho).\n
Vou calcular \mathbf{F}(x,x^{2}) em alguns x fáceis; esses são vetores que você desenha na parábola em cada ponto (x,x^{2}):
\begin{aligned} x=-2:&\quad \mathbf{F}(-2,4)=(-2\cdot(-2),1)=(4,1)\\\ x=-1:&\quad \mathbf{F}(-1,1)=(-2\cdot(-1),1)=(2,1)\\\ x=-\tfrac{1}{2}:&\quad \mathbf{F}\bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\bigr)=(-2\cdot(-\tfrac{1}{2}),1)=(1,1)\\\ x=0:&\quad \mathbf{F}(0,0)=(-2\cdot0,1)=(0,1)\\\ x=\tfrac{1}{2}:&\quad \mathbf{F}\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\bigr)=(-2\cdot\tfrac{1}{2},1)=(-1,1)\\\ x=1:&\quad \mathbf{F}(1,1)=(-2\cdot1,1)=(-2,1)\\\ x=2:&\quad \mathbf{F}(2,4)=(-4,1) \end{aligned}
Como orientação para desenhar:
  • Desenhe a parábola y=x^{2}.
  • Em cada ponto (x,x^{2}) trace um vetor com direção e sentido dados pelos pares acima. Não precisa desenhar na escala exata: mantenha a proporção horizontal/vertical aproximada (por exemplo, desenhe (4,1) mais longo que (2,1), e (1,1) com mesmo comprimento horizontal e vertical).
  • Lembre-se: à esquerda da origem os vetores inclinados para a direita e para cima; à direita da origem inclinados para a esquerda e para cima; na origem vertical para cima.

Passo 6

Resumo final e dica para a prova (como justificar rapidamente).\n
  • Resultado direto e rápido: \mathbf{F}(x,y)=(-2x,1).
  • Sobre a parábola (x,x^{2}) o vetor é \mathbf{F}(x,x^{2})=(-2x,1), normal à parábola naquele ponto.
  • Justifique em prova dizendo: calculei as derivadas parciais, obtive (-2x,1); como a parábola é nível f=0 o gradiente é normal a ela; use alguns pontos para ilustrar o esboço.

Resposta

\mathbf{F}(x,y)=\nabla f(x,y)=(-2x,1).\n
Vetor em (x,x^{2}): \mathbf{F}(x,x^{2})=(-2x,1).\n
Exemplos: \mathbf{F}(-2,4)=(4,1),\; \mathbf{F}(-1,1)=(2,1),\; \mathbf{F}(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4})=(1,1),\; \mathbf{F}(0,0)=(0,1),\; \mathbf{F}(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4})=(-1,1),\; \mathbf{F}(1,1)=(-2,1),\; \mathbf{F}(2,4)=(-4,1).

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