Determine o domínio das seguintes funções:
h(x)=\ln (x+5)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função h(x)=\ln(x+5).
Informações dadas:
  • A função é h(x)=\ln(x+5).
  • Quer-se o conjunto de todos os valores de x para os quais essa expressão está bem definida (ou seja, o domínio).

Passo 2

Regra importante (explicação didática): a função \ln(y) — logaritmo natural — só está definida quando o argumento y for estritamente positivo. Em palavras: não se pode calcular \ln de zero nem de números negativos. Isso significa que, no nosso caso, o termo dentro do logaritmo deve satisfazer
x+5>0.

Passo 3

Resolver a desigualdade \,x+5>0. Isolando x fazemos uma operação simples (subtrair 5 dos dois lados; isso preserva a desigualdade):
x> -5.
Explicando passo a passo: se x+5>0, então ao subtrair 5 de ambos os lados obtém-se x>-5. Não invertemos sinal porque não multiplicamos ou dividimos por número negativo — foi só uma subtração.

Passo 4

Verificações e intuição (para ajudar na prova):
  • Para x=-5 temos x+5=0 e \ln(0) não está definido (o logaritmo tende a -\infty quando o argumento se aproxima de 0^+, portanto x=-5 é excluído).
  • Para x<-5 o argumento x+5 é negativo e \ln não existe para argumentos negativos (por exemplo, x=-6 \ln(-1), que não é definido nos reais).
  • Para qualquer x>-5 o argumento é positivo; por exemplo, x=-4 x+5=1 e \ln(1)=0, que é válido.

Passo 5

Conclusão: o domínio é o conjunto de todos os números reais maiores que -5.

Resposta

( -5,\infty )

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