Determine o domínio das seguintes funções: (2.5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O radicando (a expressão dentro da raiz) é
. - A expressão está dentro de uma raiz quadrada no denominador. Portanto duas condições importantes surgem:
- O radicando deve ser um número real admissível para
, ou seja, deve ser maior ou igual a zero. - Como a raiz está no denominador, não podemos ter denominador igual a zero; logo o radicando não pode ser exatamente zero.
- O radicando deve ser um número real admissível para
- Em consequência, precisamos dos
tais que
Os pontos em que o produto é zero são
e
, que ficarão como limites críticos a verificar.
Passo 2
Explicando a teoria por trás: para uma função do tipo
,
- a raiz quadrada
exige para que o valor seja real; - e como ela está no denominador, precisamos ainda de
, isto é, .
Combinando as duas condições obtemos. No nosso caso , então buscamos as soluções de
Passo 3
Método de resolução (análise de sinais): para resolver
usamos duas ideias simples:
- identificar os zeros das duas parcelas lineares (os pontos em que o produto muda de sinal);
- dividir a reta em intervalos usando esses zeros e testar o sinal do produto em cada intervalo.
As parcelas lineares sãoe .
Passo 4
Encontrando os pontos críticos (zeros) das parcelas:
Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
,
e
. Em cada intervalo o sinal de cada fator
e
é constante, então basta testar um ponto em cada intervalo.
Passo 5
Testando sinais com pontos representantes:
- Para
: Produto: . Logo o produto é positivo em . - Para
: Produto: . Logo o produto é negativo em . - Para
: Produto: . Logo o produto é positivo em .
Passo 6
Conclusão sobre a desigualdade:
é satisfeita nos intervalos
e
. Os pontos
e
não podem ser incluídos porque aí
, o que tornaria o denominador igual a zero (proibido). Portanto o domínio da função é a união desses dois intervalos.