Determine o domínio das seguintes funções: (2.5 pontos)
f(x)=\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x+2)}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x+2)}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O radicando (a expressão dentro da raiz) é (x-1)(x+2).
  • A expressão está dentro de uma raiz quadrada no denominador. Portanto duas condições importantes surgem:
    1. O radicando deve ser um número real admissível para \sqrt{\;\cdot\;}, ou seja, deve ser maior ou igual a zero.
    2. Como a raiz está no denominador, não podemos ter denominador igual a zero; logo o radicando não pode ser exatamente zero.
  • Em consequência, precisamos dos x tais que
(x-1)(x+2)>0.
Os pontos em que o produto é zero são \,x=1 e \,x=-2, que ficarão como limites críticos a verificar.

Passo 2

Explicando a teoria por trás: para uma função do tipo \dfrac{1}{\sqrt{g(x)}},
  • a raiz quadrada \sqrt{g(x)} exige g(x)\ge 0 para que o valor seja real;
  • e como ela está no denominador, precisamos ainda de \sqrt{g(x)}\neq 0, isto é, g(x)\neq 0.
    Combinando as duas condições obtemos g(x)>0. No nosso caso g(x)=(x-1)(x+2), então buscamos as soluções de
(x-1)(x+2)>0.

Passo 3

Método de resolução (análise de sinais): para resolver (x-1)(x+2)>0 usamos duas ideias simples:
  • identificar os zeros das duas parcelas lineares (os pontos em que o produto muda de sinal);
  • dividir a reta em intervalos usando esses zeros e testar o sinal do produto em cada intervalo.
    As parcelas lineares são (x-1) e (x+2).

Passo 4

Encontrando os pontos críticos (zeros) das parcelas:
x-1=0 \Rightarrow x=1,
x+2=0 \Rightarrow x=-2.
Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,1) e (1,\infty). Em cada intervalo o sinal de cada fator (x-1) e (x+2) é constante, então basta testar um ponto em cada intervalo.

Passo 5

Testando sinais com pontos representantes:
  • Para \,x=-3\in(-\infty,-2): x-1=-3-1=-4<0,\qquad x+2=-3+2=-1<0.Produto: (-4)\cdot(-1)=4>0. Logo o produto é positivo em (-\infty,-2).
  • Para \,x=0\in(-2,1): x-1=0-1=-1<0,\qquad x+2=0+2=2>0.Produto: (-1)\cdot 2=-2<0. Logo o produto é negativo em (-2,1).
  • Para \,x=2\in(1,\infty): x-1=2-1=1>0,\qquad x+2=2+2=4>0.Produto: 1\cdot 4=4>0. Logo o produto é positivo em (1,\infty).

Passo 6

Conclusão sobre a desigualdade: (x-1)(x+2)>0 é satisfeita nos intervalos (-\infty,-2) e (1,\infty). Os pontos x=-2 e x=1 não podem ser incluídos porque aí (x-1)(x+2)=0, o que tornaria o denominador igual a zero (proibido). Portanto o domínio da função é a união desses dois intervalos.

Resposta

(-\infty,-2)\cup(1,\infty)

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