Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}+9 y=0 \operatorname{com} y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial e pelas condições iniciais. As informações fornecidas são:
y'' + 9y = 0
y(0)=1
y'(0)=-1
Ou seja, precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e toma os valores indicados em x=0.

Passo 2

Escolhendo o método: como a equação é uma equação diferencial linear de ordem dois com coeficientes constantes (não há termos dependentes de x multiplicando y ou y'), o método padrão é assumir uma solução exponencial e formar a equação característica. Esse método é o mais direto e é o que normalmente se usa numa prova para equações do tipo y''+a y'+b y=0. Vou aplicar esse método aqui.

Passo 3

Formulando a equação característica: suponha uma solução da forma y(x)=e^{r x}. Substituindo em y''+9y=0 obtemos a equação para r:
r^{2}+9=0.
Essa é a equação característica associada à equação diferencial.

Passo 4

Resolvendo a equação característica: resolvemos
r^{2}+9=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=-9 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 3i.
Aqui i é a unidade imaginária. Como as raízes são complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta com \alpha=0 e \beta=3, a teoria diz que a solução geral real é combinação de cosseno e seno com frequência \beta.

Passo 5

Escrevendo a solução geral real: para raízes 0\pm 3i a solução geral é
y(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Explicando: \cos(3x) e \sin(3x) surgem porque e^{(0\pm 3i)x} = \cos(3x)\pm i\sin(3x), e a combinação linear dá as duas funções reais independentes.

Passo 6

Derivando a solução para usar a condição em y'(0): calculemos y'(x). Derivando termo a termo:
y'(x) = \frac{d}{dx}\big(C_{1}\cos(3x)\big) + \frac{d}{dx}\big(C_{2}\sin(3x)\big).
Usando as derivadas \frac{d}{dx}\cos(3x)=-3\sin(3x) e \frac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x), obtemos
y'(x) = -3C_{1}\sin(3x) + 3C_{2}\cos(3x).

Passo 7

Aplicando a condição y(0)=1: substituímos x=0 na expressão de y(x). Como \cos(0)=1 e \sin(0)=0,
y(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Portanto
C_{1}=1.

Passo 8

Aplicando a condição y'(0)=-1: substituímos x=0 na expressão de y'(x). Como \sin(0)=0 e \cos(0)=1,
y'(0) = -3C_{1}\sin(0) + 3C_{2}\cos(0) = -3C_{1}\cdot 0 + 3C_{2}\cdot 1 = 3C_{2}.
Portanto devemos ter
3C_{2} = -1 \quad\Rightarrow\quad C_{2} = -\frac{1}{3}.

Passo 9

Substituindo as constantes na solução geral: com C_{1}=1 e C_{2}=-\dfrac{1}{3}, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = 1\cdot \cos(3x) - \frac{1}{3}\sin(3x).
Podemos reescrever de forma compacta como y(x)=\cos(3x)-\dfrac{1}{3}\sin(3x).

Passo 10

Verificação rápida (opcional, mas útil em prova): podemos verificar que essa função satisfaz as condições iniciais: y(0)=\cos(0)-\dfrac{1}{3}\sin(0)=1-0=1 e
y'(x)=-3\cos(3x)\cdot 0? \text{ (não escrever assim)}.ã
Melhor: usando a fórmula já obtida para y'(x) com as constantes,
y'(x) = -3\cdot 1\cdot\sin(3x) + 3\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right)\cos(3x) = -3\sin(3x) - \cos(3x).
Então y'(0) = -3\sin(0)-\cos(0) = 0 - 1 = -1, como desejado. (Aqui verifiquei a derivada substituindo as constantes.)

Resposta

y(x)=\cos(3x)-\dfrac{1}{3}\sin(3x)

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