Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial e pelas condições iniciais. As informações fornecidas são:
Ou seja, precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e toma os valores indicados em
.
Passo 2
Escolhendo o método: como a equação é uma equação diferencial linear de ordem dois com coeficientes constantes (não há termos dependentes de
multiplicando
ou
), o método padrão é assumir uma solução exponencial e formar a equação característica. Esse método é o mais direto e é o que normalmente se usa numa prova para equações do tipo
. Vou aplicar esse método aqui.
Passo 3
Formulando a equação característica: suponha uma solução da forma
. Substituindo em
obtemos a equação para
:
Essa é a equação característica associada à equação diferencial.
Passo 4
Resolvendo a equação característica: resolvemos
Aqui
é a unidade imaginária. Como as raízes são complexas conjugadas
com
e
, a teoria diz que a solução geral real é combinação de cosseno e seno com frequência
.
Passo 5
Escrevendo a solução geral real: para raízes
a solução geral é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Explicando:
e
surgem porque
, e a combinação linear dá as duas funções reais independentes.
Passo 6
Derivando a solução para usar a condição em
: calculemos
. Derivando termo a termo:
Usando as derivadas
e
, obtemos
Passo 7
Aplicando a condição
: substituímos
na expressão de
. Como
e
,
Portanto
Passo 8
Aplicando a condição
: substituímos
na expressão de
. Como
e
,
Portanto devemos ter
Passo 9
Substituindo as constantes na solução geral: com
e
, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
Podemos reescrever de forma compacta como
.
Passo 10
Verificação rápida (opcional, mas útil em prova): podemos verificar que essa função satisfaz as condições iniciais:
e
Melhor: usando a fórmula já obtida para
com as constantes,
Então
, como desejado. (Aqui verifiquei a derivada substituindo as constantes.)