Defina formalmente: ( 2.5 pontos)
  • Função Sobrejetora:

Passo 1

O enunciado pede que eu apresente uma definição formal de “Função Sobrejetora” (ou seja, definir rigorosamente o que significa que uma função seja sobrejetora). Não há dados adicionais no enunciado — só precisa da definição e, como vou explicar passo a passo, também vou mostrar como interpretar e verificar essa definição na prática.

Passo 2

Intuição rápida e amigável: quando dizemos que uma função é sobrejetora estamos afirmando que a função “atinge” todo elemento do seu contradomínio. Imagine que o contradomínio é um conjunto de cartas; a função é um carteiro: ser sobrejetora significa que para cada carta existe pelo menos um destinatário que recebe essa carta. Em termos práticos, não sobra nenhum elemento do contradomínio sem ser imagem de algo no domínio.

Passo 3

Agora a forma formal usa lógica com quantificadores. Vou primeiro escrever a definição e depois explicar cada símbolo. Seja uma função
f: A \to B.
A definição formal é:
\forall y\in B\;\exists x\in A\\ \text{tal que}\\ f(x)=y.
Isso significa: "para todo elemento y do conjunto B (o contradomínio), existe pelo menos um elemento x em A (o domínio) tal que f(x)=y".

Passo 4

Explicando minuciosamente os símbolos e os quantificadores:
  • \forall y\in B quer dizer "para todo y em B" — é o quantificador universal.
  • \exists x\in A quer dizer "existe algum x em A" — é o quantificador existencial.
  • f(x)=y significa que y é imagem de x pela função f.
    Na prova, quando você escreve \forall e \exists, está sendo preciso sobre o que precisa mostrar (ou encontrar).

Passo 5

Equivalências úteis (que frequentemente aparecem em exercícios e provas):
  • A função f: A\to B é sobrejetora se, e somente se, a imagem de f é igual ao contradomínio:
\operatorname{Im}(f):=\{\,f(x)\mid x\in A\,\} = B.
  • Outra caracterização: f é sobrejetora se, e somente se, existe uma aplicação g:B\to A tal que
f\circ g = \operatorname{id}_B,
onde \operatorname{id}_B é a função identidade em B. Esse g é chamado de “inversa à direita” de f.

Passo 6

Como provar que uma função é sobrejetora (passo a passo que serve na prova):
  • Método direto (mais comum): Pegue um elemento arbitrário y\in B. A partir das propriedades de f (ou da expressão algébrica de f), mostre explicitamente como obter um x\in A com f(x)=y. Como o y foi arbitrário, isso prova \forall y\in B\;\exists x\in A: f(x)=y.
  • Como refutar (mostrar que não é sobrejetora): Basta encontrar um elemento y_0\in B tal que não exista x\in A com f(x)=y_0. Um único contraexemplo derruba a sobrejetividade.

Passo 7

Exemplos rápidos e verificação (para fixar):
  • Exemplo sobrejetor: f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x)=x^3. Dado y\in\mathbb{R}, basta tomar x=\sqrt[3]{y}. Então f(x)=x^3=(\sqrt[3]{y})^3=y. Assim, \forall y existe x — logo f é sobrejetora.
  • Exemplo não sobrejetor: g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por g(x)=e^x. Tome y=-1\in\mathbb{R}. Não existe x\in\mathbb{R} tal que e^x=-1 (pois e^x>0 para todo x). Assim encontramos um y no contradomínio sem pré-imagem, logo g não é sobrejetora.

Passo 8

Dicas de escrita na prova (pra te salvar quando o tempo é curto):
  • Ao provar sobrejetividade, comece com “Seja y\in B arbitrário.” Depois ache ou construa x em função de y e conclua “portanto \exists x\in A tal que f(x)=y. Como y foi arbitrário, \forall y\in B\ldots — logo f é sobrejetora.”
  • Para um contraexemplo simples, escreva explicitamente o y_0 e mostre que a equação f(x)=y_0 não tem solução em A.

Resposta

\text{Seja }f:A\to B.\quad f\text{ é sobrejetora se, e somente se, }\forall y\in B\;\exists x\in A\\ \text{tal que}\\ f(x)=y.é

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