Determine o domínio das seguintes funções reais:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função real
.
Informações dadas:
- A função é a raiz de índice
(cúbica) aplicada ao radicando . - Quer-se o conjunto de todos os
reais para os quais a expressão fornece um número real (ou seja, onde está bem definida como número real).
Passo 2
Conceito que precisamos lembrar (explicado devagarinho):
- Para uma raiz
com inteiro positivo: - Se
é par (por exemplo , a raiz quadrada), então o radicando deve ser maior ou igual a zero ( ) para obter um número real. Por exemplo, não é real. - Se
é ímpar (por exemplo , raiz cúbica), então qualquer número real tem uma raiz -ésima real; ou seja, não há restrição de sinal sobre . Exemplo: é perfeitamente real.
- Se
- Intuição simples: potências ímpares preservam sinal (por exemplo
), então a operação inversa (raiz cúbica) também aceita negativos.
Passo 3
Aplicando à nossa função:
- O índice é
, que é ímpar. Portanto a operação aceita qualquer radicando real sem restrição. - O radicando é
. Para qualquer , a expressão é um número real. Não há nenhuma condição do tipo imposta.
Passo 4
Uma maneira concreta de ver que não há restrição: dado qualquer número real
, posso escolher
então
. Isso mostra que
atinge todos os reais quando
varia em
. Logo a raiz cúbica de
está sempre definida como real.
Exemplos numéricos rápidos para fixar:
-
(valor real negativo). -
. -
.
Passo 5
Conclusão: não existe nenhuma restrição nos valores de
; todos os números reais são permitidos.