Determine o domínio das seguintes funções reais: f(x)=\sqrt[3]{2 x-5}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função real f(x)=\sqrt[3]{2x-5}.
Informações dadas:
  • A função é a raiz de índice 3 (cúbica) aplicada ao radicando 2x-5.
  • Quer-se o conjunto de todos os x reais para os quais a expressão fornece um número real (ou seja, onde f(x) está bem definida como número real).

Passo 2

Conceito que precisamos lembrar (explicado devagarinho):
  • Para uma raiz \sqrt[n]{u} com n inteiro positivo:
    • Se n é par (por exemplo n=2, a raiz quadrada), então o radicando u deve ser maior ou igual a zero ( u\ge0) para obter um número real. Por exemplo, \sqrt{-1} não é real.
    • Se n é ímpar (por exemplo n=3, raiz cúbica), então qualquer número real u tem uma raiz n-ésima real; ou seja, não há restrição de sinal sobre u. Exemplo: \sqrt[3]{-8}=-2 é perfeitamente real.
  • Intuição simples: potências ímpares preservam sinal (por exemplo (-2)^3=-8), então a operação inversa (raiz cúbica) também aceita negativos.

Passo 3

Aplicando à nossa função:
  • O índice é 3, que é ímpar. Portanto a operação \sqrt[3]{\cdot} aceita qualquer radicando real sem restrição.
  • O radicando é 2x-5. Para qualquer x\in\mathbb{R}, a expressão 2x-5 é um número real. Não há nenhuma condição do tipo \ge0 imposta.

Passo 4

Uma maneira concreta de ver que não há restrição: dado qualquer número real t, posso escolher
x=\frac{t+5}{2},
então 2x-5=t. Isso mostra que 2x-5 atinge todos os reais quando x varia em \mathbb{R}. Logo a raiz cúbica de 2x-5 está sempre definida como real.
Exemplos numéricos rápidos para fixar:
  • x=0\Rightarrow f(0)=\sqrt[3]{-5} (valor real negativo).
  • x=\tfrac{5}{2}\Rightarrow f\!\left(\tfrac{5}{2}\right)=\sqrt[3]{0}=0.
  • x=3\Rightarrow f(3)=\sqrt[3]{1}=1.

Passo 5

Conclusão: não existe nenhuma restrição nos valores de x; todos os números reais são permitidos.

Resposta

\mathbb{R}

Exercícios relacionados