Considere a seguinte EDO,
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-4) y=0
Demonstre que x0=0 é um ponto singular regular dessa equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação diferencial ordinária (EDO) que é:
x^2 y'' + x y' + (x^2 - 4) y = 0
O que a gente precisa fazer é mostrar que $ x_{0} = 0 $ é um ponto singular regular dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de pontos singulares e como identificar se eles são regulares ou não. Vamos precisar olhar os coeficientes da EDO e analisar o comportamento deles perto do ponto $ x_{0} = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma padrão. Em geral, uma EDO de segunda ordem tem a forma:
P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0
Comparando com a nossa equação:
P(x) = x^2, Q(x) = x, R(x) = x^2 - 4
Um ponto $ x_{0} $ é chamado de ponto singular se $ P(x_{0}) = 0 $. Aqui, $ P(0) = 0 $, então $ x_{0} = 0 $ é um ponto singular.

Passo 3

Agora, precisamos determinar se esse ponto singular é regular ou não. Para isso, verificamos duas condições:
  1. $ \frac{Q(x)}{P(x)} $ deve ter, no máximo, um polo de ordem 1 em $ x_{0} $.
  2. $ \frac{R(x)}{P(x)} $ deve ter, no máximo, um polo de ordem 2 em $ x_{0} $.
Vamos calcular cada uma:
Q(x)P(x)
x0

Passo 4

Analisando $ \frac{Q(x)}{P(x)} = \frac{1}{x} $, vemos que tem um polo de ordem 1 em $ x = 0 $, o que está de acordo com a primeira condição.
Agora, olhando $ \frac{R(x)}{P(x)} = 1 - \frac{4}{x^{2}} $, notamos que o termo $ \frac{4}{x^{2}} $ tem um polo de ordem 2 em $ x = 0 $, o que também está dentro do permitido pela segunda condição.

Passo 5

Como ambas as condições para ser um ponto singular regular foram satisfeitas, podemos concluir que $ x_{0} = 0 $ é, de fato, um ponto singular regular da nossa equação diferencial.

Resposta

$ x_{0} = 0 $ é um ponto singular regular da equação diferencial dada.

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