Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{x}-\frac{125}{27}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{x}-\frac{125}{27}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é uma raiz quadrada; portanto o radicando deve ser maior ou igual a zero.
  • A base \dfrac{3}{5} é um número positivo menor que 1.
  • O número \dfrac{125}{27} aparece subtraído dentro do radicando.

Passo 2

Condição necessária para f(x) estar definida: o radicando tem que ser não negativo. Escrevendo isso:
\left(\frac{3}{5}\right)^{x}-\frac{125}{27}\ge 0.

Passo 3

Isolando a potência, obtemos a inequação
\left(\frac{3}{5}\right)^{x}\ge \frac{125}{27}.

Passo 4

Reconheça que \dfrac{125}{27} é uma potência:
\frac{125}{27}=\frac{5^{3}}{3^{3}}=\left(\frac{5}{3}\right)^{3}.
Também escrevemos \left(\dfrac{3}{5}\right)^{x} como potência inversa:
\left(\frac{3}{5}\right)^{x}=\left(\frac{5}{3}\right)^{-x}.
Substituindo essas formas na inequação:
\left(\frac{5}{3}\right)^{-x}\ge \left(\frac{5}{3}\right)^{3}.

Passo 5

Agora um pouco de teoria/intuition sobre exponenciais (isso é útil para a prova):
  • Se a>1, a função a^{t} é estritamente crescente em t. Assim, a^{u}\ge a^{v} se, e somente se, u\ge v.
  • Se 0<a<1, a função a^{t} é estritamente decrescente, e então a^{u}\ge a^{v} se, e somente se, u\le v.
No nosso caso usamos a=\dfrac{5}{3}>1, portanto podemos comparar diretamente os expoentes na inequação
\left(\frac{5}{3}\right)^{-x}\ge \left(\frac{5}{3}\right)^{3}
pela regra de função exponencial crescente: isso é equivalente a
- x \ge 3.
(Alternativa usando logaritmo: tomar log natural em \left(\frac{3}{5}\right)^{x}\ge\left(\frac{5}{3}\right)^{3} também funciona, mas atenção ao sinal de \ln\left(\frac{3}{5}\right) que é negativo — nesse caso a desigualdade muda de sentido. A abordagem por reescrever em potências com mesma base geralmente é mais direta.)

Passo 6

Resolva a inequação obtida:
- x \ge 3 \quad\Longrightarrow\quad x \le -3.

Passo 7

Verificação rápida para sentir que está correto:
  • Para x=-3: \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-3}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{3}=\dfrac{125}{27}, o radicando é zero e a raiz é definida.
  • Para x=-4: \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-4}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{4}>\left(\dfrac{5}{3}\right)^{3}, radicando positivo.
  • Para x=0: \left(\dfrac{3}{5}\right)^{0}=1<\dfrac{125}{27}, radicando negativo (não permitido).

Resposta

\displaystyle (-\infty,-3]

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