Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
Informações que temos (retiradas diretamente do enunciado):
- A base do logaritmo é
. - O argumento do logaritmo é
. - O que se pede: todos os valores de
para os quais está definida (ou seja, o domínio).
Passo 2
Regras essenciais para que
esteja definido (aqui preciso ensinar isso devagarinho):
- O argumento
deve ser estritamente positivo: . Explicação curta: logaritmo de zero ou de número negativo não existe nos reais. - A base
deve ser positiva e diferente de : e . Explicação: base negativa não é permitida para logaritmos reais; base não dá informação (log base 1 não é definido porque para todo ).
Aplicando essas condições ao problema:
- argumento:
. - base:
e .
Passo 3
Resolver a condição do argumento:
.
Primeiro reorganizo a expressão:
Para achar onde é positivo, encontro as raízes da equação igual a zero:
Fatorando:
As raízes são
e
. A parábola
tem coeficiente de
negativo (abre para baixo), então a expressão é positiva entre as raízes. Portanto:
Passo 4
Resolver as condições da base.
- Base positiva:
Observação:
daria base
, que não é permitido, por isso a desigualdade é estrita.
- Base diferente de
:
Então as restrições da base são:
e
.
Passo 5
Agora intersecto todas as condições (argumento e base) para obter o domínio.
Do Passo 3 temos
.
Do Passo 4 temos com exclusão de
.
Do Passo 4 temos
A interseção é
Removendo o ponto proibido
(onde a base seria
) obtemos
Passo 6
Verificações rápidas (para ganhar confiança):
- Escolhendo
: base (entre e ) e argumento positivo — log é válido com base em . - Escolhendo
: base (maior que ) e argumento positivo — log é válido.
Portanto a forma final do domínio está correta.