Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\log _{(2 x-3)}\left(3+2 x-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\log_{(2x-3)}\!\bigl(3+2x-x^{2}\bigr).
Informações que temos (retiradas diretamente do enunciado):
  • A base do logaritmo é 2x-3.
  • O argumento do logaritmo é 3+2x-x^{2}.
  • O que se pede: todos os valores de x para os quais f(x) está definida (ou seja, o domínio).

Passo 2

Regras essenciais para que \log_{b}(A) esteja definido (aqui preciso ensinar isso devagarinho):
  • O argumento A deve ser estritamente positivo: A>0. Explicação curta: logaritmo de zero ou de número negativo não existe nos reais.
  • A base b deve ser positiva e diferente de 1: b>0 e b\neq1. Explicação: base negativa não é permitida para logaritmos reais; base 1 não dá informação (log base 1 não é definido porque 1^{y}=1 para todo y).
Aplicando essas condições ao problema:
  • argumento: 3+2x-x^{2}>0.
  • base: 2x-3>0 e 2x-3\neq1.

Passo 3

Resolver a condição do argumento: 3+2x-x^{2}>0.
Primeiro reorganizo a expressão:
3+2x-x^{2} = -x^{2}+2x+3.
Para achar onde é positivo, encontro as raízes da equação igual a zero:
-x^{2}+2x+3=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-2x-3=0.
Fatorando:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
As raízes são x=-1 e x=3. A parábola -x^{2}+2x+3 tem coeficiente de x^{2} negativo (abre para baixo), então a expressão é positiva entre as raízes. Portanto:
3+2x-x^{2}>0 \iff -1<x<3.

Passo 4

Resolver as condições da base.
  1. Base positiva:
2x-3>0 \iff x>\tfrac{3}{2}.
Observação: x=\tfrac{3}{2} daria base 0, que não é permitido, por isso a desigualdade é estrita.
  1. Base diferente de 1:
2x-3\neq1 \iff 2x\neq4 \iff x\neq2.
Então as restrições da base são: x>\tfrac{3}{2} e x\neq2.

Passo 5

Agora intersecto todas as condições (argumento e base) para obter o domínio.
Do Passo 3 temos x\in(-1,3).
Do Passo 4 temos x\in\bigl(\tfrac{3}{2},\infty\bigr) com exclusão de x=2.
A interseção é
(-1,3)\cap\bigl(\tfrac{3}{2},\infty\bigr)=(\tfrac{3}{2},3).
Removendo o ponto proibido x=2 (onde a base seria 1) obtemos
\bigl(\tfrac{3}{2},3\bigr)\setminus\{2\} = \bigl(\tfrac{3}{2},2\bigr)\cup\bigl(2,3\bigr).

Passo 6

Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • Escolhendo x=1{,}6\in(\tfrac{3}{2},2): base 2x-3\approx0{,}2 (entre 0 e 1) e argumento positivo — log é válido com base em (0,1).
  • Escolhendo x=2{,}5\in(2,3): base 2x-3=2 (maior que 1) e argumento positivo — log é válido.
Portanto a forma final do domínio está correta.

Resposta

\left(\tfrac{3}{2},2\right)\cup\left(2,3\right)

Exercícios relacionados