Estude a variação de sinal (f(x)>0, f(x)=0 e f(x)<0) das seguintes funções:
f(x)=2-\lfloor x+1\rfloor

Passo 1

O enunciado pede para estudar a variação de sinal da função f dada por
f(x)=2-\lfloor x+1\rfloor.
Isso significa identificar os conjuntos de x onde f(x)>0, onde f(x)=0 e onde f(x)<0. As únicas informações fornecidas são a expressão da função com o piso \lfloor\cdot\rfloor.

Passo 2

Entender bem o piso (função “floor”) é fundamental. A definição básica:
\lfloor t\rfloor
é o maior número inteiro menor ou igual a t. Exemplos rápidos (para fixar o conceito):
  • \lfloor 2{,}3\rfloor=2,
  • \lfloor -0{,}7\rfloor=-1 (repare que vai para o inteiro menor ou igual!),
  • \lfloor 3\rfloor=3.
Uma propriedade útil é: se \lfloor t\rfloor=k com k\in\mathbb{Z}, então
k\le t<k+1.

Passo 3

Use a ideia anterior aplicando t=x+1. Defina um inteiro k por
k=\lfloor x+1\rfloor.
Então, pela propriedade do piso,
k\le x+1<k+1 \quad\Longleftrightarrow\quad k-1\le x<k.
Com essa notação,
f(x)=2-k.
A análise do sinal de f(x) passa a ser uma análise do inteiro k:
  • f(x)>0 quando 2-k>0 (isto é, k<2),
  • f(x)=0 quando 2-k=0 (isto é, k=2),
  • f(x)<0 quando 2-k<0 (isto é, k>2).

Passo 4

Traduzir cada condição em intervalos de x usando k-1\le x<k.
  1. Para f(x)>0: temos k<2. Como k é inteiro, isso equivale a k\le 1. Para cada inteiro k\le 1 o conjunto de x é [k-1,k). Tomando a união para todos esses k obtém-se
\bigcup_{k\le 1}[k-1,k) = (-\infty,1).
Logo f(x)>0 para todo x tal que x<1.
  1. Para f(x)=0: temos k=2. O intervalo correspondente é
k-1\le x<k \quad\text{com }k=2 \quad\Rightarrow\quad 1\le x<2,
ou seja, x\in[1,2).
  1. Para f(x)<0: temos k>2. Como k é inteiro, isso equivale a k\ge 3. Para cada k\ge 3 o intervalo é [k-1,k). A união desses intervalos é
\bigcup_{k\ge 3}[k-1,k) = [2,\infty).
Logo f(x)<0 para todo x\ge 2.

Passo 5

Verificação por pontos teste (confere que não houve erro):
  • Se x=0{,}5 (está em (-\infty,1)): x+1=1{,}5, \lfloor1{,}5\rfloor=1, então f(0{,}5)=2-1=1>0.
  • Se x=1{,}2 (está em [1,2)): x+1=2{,}2, \lfloor2{,}2\rfloor=2, então f(1{,}2)=2-2=0.
  • Se x=3 (está em [2,\infty)): x+1=4, \lfloor4\rfloor=4, então f(3)=2-4=-2<0.
Tudo bate com os intervalos encontrados.

Resposta

f(x)>0 para x\in(-\infty,1)
f(x)=0 para x\in[1,2)
f(x)<0 para x\in[2,\infty)

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