Estude a variação de sinal
e
das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a variação de sinal da função
dada por
Isso significa identificar os conjuntos de
onde
, onde
e onde
. As únicas informações fornecidas são a expressão da função com o piso
.
Passo 2
Entender bem o piso (função “floor”) é fundamental. A definição básica:
é o maior número inteiro menor ou igual a
. Exemplos rápidos (para fixar o conceito):
-
, -
(repare que vai para o inteiro menor ou igual!), -
.
Uma propriedade útil é: se
com
, então
Passo 3
Use a ideia anterior aplicando
. Defina um inteiro
por
Então, pela propriedade do piso,
Com essa notação,
A análise do sinal de
passa a ser uma análise do inteiro
:
-
quando (isto é, ), -
quando (isto é, ), -
quando (isto é, ).
Passo 4
Traduzir cada condição em intervalos de
usando
.
- Para
: temos . Como é inteiro, isso equivale a . Para cada inteiro o conjunto de é . Tomando a união para todos esses obtém-se
Logo
para todo
tal que
.
- Para
: temos . O intervalo correspondente é
ou seja,
.
- Para
: temos . Como é inteiro, isso equivale a . Para cada o intervalo é . A união desses intervalos é
Logo
para todo
.
Passo 5
Verificação por pontos teste (confere que não houve erro):
- Se
(está em ): , , então . - Se
(está em ): , , então . - Se
(está em ): , , então .
Tudo bate com os intervalos encontrados.