Determine o domínio de validade das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos determinar o domínio de validade da função dada:
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para que a função esteja definida, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador para facilitar a análise. Vamos expandir os termos:
Vamos multiplicar o
pelos termos dentro do parêntese:
Substituindo de volta na expressão:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
- Termos com
: - Termos com
: - Termos com
: - Termo constante:
Portanto, o denominador simplificado fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores de
que fazem o denominador igual a zero, pois esses valores devem ser excluídos do domínio. Vamos resolver a equação:
Essa é uma equação quadrática da forma
, onde
,
, e
.
Para resolver, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Portanto, as soluções são:
Passo 4
Agora que encontramos os valores de
que anulam o denominador (
e
), sabemos que a função não está definida nesses pontos. Portanto, o domínio da função
são todos os números reais exceto
e
.
Resposta
O domínio de validade da função
é todos os números reais menos
e
. Em notação matemática: