Determine o domínio de validade das funções abaixo:
f(x)=1-4 x^3+x^2-3 x+2 x(2 x^2+1)-2

Passo 1

Beleza, vamos determinar o domínio de validade da função dada:
f(x)=1-4 x^3+x^2-3 x+2 x(2 x^2+1)-2
O domínio de uma função são todos os valores de x para os quais a função está definida. Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para que a função esteja definida, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador para facilitar a análise. Vamos expandir os termos:
-4x^3 + x^2 - 3x + 2x(2x^2+1) - 2
Vamos multiplicar o 2x pelos termos dentro do parêntese:
2x cdot 2x^2 = 4x^3
2x cdot 1 = 2x
Substituindo de volta na expressão:
-4x^3 + x^2 - 3x + 4x^3 + 2x - 2
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos com x^3 : -4x^3 + 4x^3 = 0
  • Termos com x^2 : x^2
  • Termos com x : -3x + 2x = -x
  • Termo constante: -2
Portanto, o denominador simplificado fica:
x^2 - x - 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores de x que fazem o denominador igual a zero, pois esses valores devem ser excluídos do domínio. Vamos resolver a equação:
x^2 - x - 2 = 0
Essa é uma equação quadrática da forma ax^2 + bx + c = 0 , onde a = 1 , b = -1 , e c = -2 .
Para resolver, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
x = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2)2 cdot 1
Simplificando:
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm raiz92 = 1 pm 32
Portanto, as soluções são:
x = 1 + 32 = 2
x = 1 - 32 = -1

Passo 4

Agora que encontramos os valores de x que anulam o denominador ( x = 2 e x = -1 ), sabemos que a função não está definida nesses pontos. Portanto, o domínio da função f(x) são todos os números reais exceto x = 2 e x = -1 .

Resposta

O domínio de validade da função f(x) é todos os números reais menos x = 2 e x = -1 . Em notação matemática:
D(f) = R setminus -1,, 2

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