Determine os domínios das funções reais
y=\frac{3 x}{x^{2}-9}+\frac{1}{\sqrt{x+4}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Foi dada a função real y=\dfrac{3x}{x^{2}-9}+\dfrac{1}{\sqrt{x+4}}.
  • O que pedem: determinar o domínio dessa função (ou seja, todos os valores reais de x para os quais a expressão está bem definida).
  • Informação explícita que aparece na expressão: há uma fração com denominador x^{2}-9 e outra fração cujo denominador é \sqrt{x+4}. Nada mais foi dado.

Passo 2

Conceitos necessários (explicação didática, passo a passo):
  • Regra 1 (frações): numa expressão racional qualquer, o denominador não pode ser zero. Se uma quantidade aparece no denominador, deve-se exigir que essa quantidade seja diferente de zero.
  • Regra 2 (radicais no campo dos reais): para \sqrt{\,\cdot\,} estar bem definida em \mathbb{R}, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Porém, se a raiz aparece no denominador (como aqui), não se pode ter \sqrt{\text{radicando}}=0 porque aí seria divisão por zero. Logo, quando a raiz está no denominador, o radicando deve ser estritamente positivo.
  • Em resumo, para nossa função precisamos garantir simultaneamente:
    1. x^{2}-9 \neq 0 (para a primeira fração).
    2. x+4>0 (para que \sqrt{x+4} exista e não seja zero, já que está no denominador).

Passo 3

Tratar a condição 1: resolver x^{2}-9 \neq 0.
  • Fatora-se x^{2}-9 usando diferença de quadrados: x^{2}-9=(x-3)(x+3).
  • Para que (x-3)(x+3)\neq 0 é necessário que nem x-3 nem x+3 sejam zero. Portanto: x\neq 3\qquad\text{e}\qquad x\neq -3.

Passo 4

Tratar a condição 2: resolver x+4>0.
  • Isolar x: x+4>0 \quad\Longrightarrow\quad x>-4.
  • Observação didática: se a raiz estivesse no numerador (por exemplo \sqrt{x+4} sem divisão), então poderíamos aceitar x=-4 (pois \sqrt{0}=0 seria permitido). Mas como aqui \sqrt{x+4} está no denominador de uma fração, o caso x=-4 ficaria \dfrac{1}{0}, impossível. Por isso exigimos estritamente x>-4.

Passo 5

Interseção das condições (juntar tudo):
  • Para que a função esteja definida devemos satisfazer ao mesmo tempo x>-4 e x\neq 3 e x\neq -3.
  • Em notação de conjuntos: \{x\in\mathbb{R}\mid x>-4\}\cap\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -3,\\ x\neq 3\}.
  • Isso significa todos os x maiores que -4, exceto remover os valores x=-3 e x=3.

Passo 6

Verificações e exemplos (para fixar a ideia):
  • Teste rápido: x=0 satisfaz x>-4 e não é \pm3; a função vale \dfrac{0}{-9}+\dfrac{1}{\sqrt{4}}=0+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}, ou seja, está definida.
  • Pontos proibidos: x=-4 \sqrt{-4+4}=\sqrt{0} no denominador → divisão por zero (proibido). x=3 ou x=-3 anulam x^{2}-9 → divisão por zero (proibido).
  • Então não há outras restrições ocultas; já cobrimos todas as fontes de indefinição.

Resposta

(-4,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty)

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