Determine os domínios das funções reais
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
- Foi dada a função real
. - O que pedem: determinar o domínio dessa função (ou seja, todos os valores reais de
para os quais a expressão está bem definida). - Informação explícita que aparece na expressão: há uma fração com denominador
e outra fração cujo denominador é . Nada mais foi dado.
Passo 2
Conceitos necessários (explicação didática, passo a passo):
- Regra 1 (frações): numa expressão racional qualquer, o denominador não pode ser zero. Se uma quantidade aparece no denominador, deve-se exigir que essa quantidade seja diferente de zero.
- Regra 2 (radicais no campo dos reais): para
estar bem definida em , o radicando deve ser maior ou igual a zero. Porém, se a raiz aparece no denominador (como aqui), não se pode ter porque aí seria divisão por zero. Logo, quando a raiz está no denominador, o radicando deve ser estritamente positivo. - Em resumo, para nossa função precisamos garantir simultaneamente:
-
(para a primeira fração). -
(para que exista e não seja zero, já que está no denominador).
-
Passo 3
Tratar a condição 1: resolver
.
- Fatora-se
usando diferença de quadrados: - Para que
é necessário que nem nem sejam zero. Portanto:
Passo 4
Tratar a condição 2: resolver
.
- Isolar
: - Observação didática: se a raiz estivesse no numerador (por exemplo
sem divisão), então poderíamos aceitar (pois seria permitido). Mas como aqui está no denominador de uma fração, o caso ficaria , impossível. Por isso exigimos estritamente .
Passo 5
Interseção das condições (juntar tudo):
- Para que a função esteja definida devemos satisfazer ao mesmo tempo
e e . - Em notação de conjuntos:
- Isso significa todos os
maiores que , exceto remover os valores e .
Passo 6
Verificações e exemplos (para fixar a ideia):
- Teste rápido:
satisfaz e não é ; a função vale , ou seja, está definida. - Pontos proibidos:
dá no denominador → divisão por zero (proibido). ou anulam → divisão por zero (proibido). - Então não há outras restrições ocultas; já cobrimos todas as fontes de indefinição.