Determine os domínios das funções reais
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função real
Informações dadas (o que aparece na expressão):
- Há quatro radicais:
, , e . - Dois desses radicais estão no numerador e dois no denominador.
A tarefa é encontrar todos os valores depara os quais a expressão dá um número real bem definido.
Passo 2
Regras fundamentais que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Para
ser um número real, é necessário e suficiente que . Ou seja, o radicando deve ser não negativo. - Se uma raiz aparece no denominador, além de o radicando ser não negativo, devemos evitar que a raiz seja zero, porque dividir por zero não é permitido. Logo, nesse caso exigimos o radicando ser estritamente positivo.
Essas duas ideias juntas vão definir as desigualdades quedeve satisfazer.
Passo 3
Aplicando as regras a cada radicando:
- Para
existir (no numerador): . - Para
existir (no numerador): . - Para
existir e não anular o denominador: .
(aqui usamos estrito porqueestá no denominador) - Para
existir e não anular o denominador: .
(novamente estrito porque está no denominador)
Passo 4
Agora juntamos todas as condições simultâneas, tomando a interseção das desigualdades:
- De
e segue . - Intersectando com
obtemos (pois é mais restritivo que ). - Finalmente intersectando com
obtemos
Em notação intervalar, isso é o intervalo aberto
.
Passo 5
Verificação das bordas para ter certeza:
- Em
, torna o denominador zero → proibido. - Em
, também torna o denominador zero → proibido. - Não há outros pontos dentro de
que causem problemas: para qualquer com todos os quatro radicandos são positivos e a divisão é bem definida.
Portanto não incluímos os extremos.