Determine os domínios das funções reais
f(x)=\frac{\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-3} \cdot \sqrt{5-x}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função real
f(x)=\frac{\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{5-x}}.
Informações dadas (o que aparece na expressão):
  • Há quatro radicais: \sqrt{x-1}, \sqrt{x-2}, \sqrt{x-3} e \sqrt{5-x}.
  • Dois desses radicais estão no numerador e dois no denominador.
    A tarefa é encontrar todos os valores de x para os quais a expressão dá um número real bem definido.

Passo 2

Regras fundamentais que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Para \sqrt{A} ser um número real, é necessário e suficiente que A\ge 0. Ou seja, o radicando deve ser não negativo.
  • Se uma raiz aparece no denominador, além de o radicando ser não negativo, devemos evitar que a raiz seja zero, porque dividir por zero não é permitido. Logo, nesse caso exigimos o radicando ser estritamente positivo.
    Essas duas ideias juntas vão definir as desigualdades que x deve satisfazer.

Passo 3

Aplicando as regras a cada radicando:
  • Para \sqrt{x-1} existir (no numerador): \;x-1\ge 0\;\Rightarrow\;x\ge 1.
  • Para \sqrt{x-2} existir (no numerador): \;x-2\ge 0\;\Rightarrow\;x\ge 2.
  • Para \sqrt{x-3} existir e não anular o denominador: \;x-3>0\;\Rightarrow\;x>3.
    (aqui usamos estrito porque \sqrt{x-3} está no denominador)
  • Para \sqrt{5-x} existir e não anular o denominador: \;5-x>0\;\Rightarrow\;x<5.
    (novamente estrito porque está no denominador)

Passo 4

Agora juntamos todas as condições simultâneas, tomando a interseção das desigualdades:
  • De \;x\ge 1\; e \;x\ge 2\; segue \;x\ge 2\;.
  • Intersectando com \;x>3\; obtemos \;x>3\; (pois x>3 é mais restritivo que x\ge 2).
  • Finalmente intersectando com \;x<5\; obtemos
3<x<5.
Em notação intervalar, isso é o intervalo aberto (3,5).

Passo 5

Verificação das bordas para ter certeza:
  • Em x=3, \sqrt{x-3}=\sqrt{0}=0 torna o denominador zero → proibido.
  • Em x=5, \sqrt{5-x}=\sqrt{0}=0 também torna o denominador zero → proibido.
  • Não há outros pontos dentro de (3,5) que causem problemas: para qualquer x com 3<x<5 todos os quatro radicandos são positivos e a divisão é bem definida.
    Portanto não incluímos os extremos.

Resposta

(3,5)

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