Determine os domínios das funções reais
Passo 1
O enunciado dá a função real
e pede para determinar o domínio dessa função.
Informações importantes do enunciado (já estão na forma matemática):
Informações importantes do enunciado (já estão na forma matemática):
- A função é
. - O radicando (a expressão dentro da raiz) é
.
A pergunta explícita: qual é o conjunto de valores de(domínio) para os quais a expressão está bem definida como número real?
Passo 2
Entendendo o conceito de raiz
-ésima real (noção que vamos usar):
- Para um índice
par (por exemplo , , …), a raiz -ésima real está definida somente quando , porque não existe número real cujo quadrado (ou quarta potência par) seja negativo. - Para um índice
ímpar (por exemplo , , , …), a raiz -ésima real está definida para todo , porque existe sempre um número real cujo cubo (ou quinta potência ímpar) é qualquer número real dado (positivo, negativo ou zero).
Passo 3
Explicando por que a raiz de índice ímpar aceita radicando negativo (didático):
- A relação fundamental é:
se, e somente se, . - A função
é uma função que toma qualquer número real e dá um resultado real . Essa função é bijetora (cada valor real tem exatamente um com ). Logo, para todo existe exatamente um tal que . Isso garante que sempre existe e é real para qualquer .
Passo 4
Aplicando essa ideia ao nosso caso: o índice da raiz é
(ímpar). O radicando é
, que pode assumir qualquer valor real à medida que
varia:
- Não há restrição do tipo
porque essa restrição só aparece quando o índice é par. - Para
(raiz cúbica) qualquer valor real de tem uma raiz cúbica real correspondente. Portanto não existe restrição sobre vinda do radicando.
Passo 5
Conclusão lógica direta: como a raiz é de índice ímpar, todos os valores de
tornam
um número real, e a raiz cúbica desse número existe e é real. Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Passo 6
Representações usuais do domínio (duas formas equivalentes, escolha a que preferir na prova):
- Notação em conjuntos:
. - Notação em intervalo:
.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (práticos, veja como funciona na hora da prova):
- Se
então , que é um número real (aproximadamente ). - Se
então , também real (aproximadamente ).
Esses exemplos mostram que tanto radicando negativo quanto positivo produzemreal.