Determine os domínios das funções reais
y=\sqrt[3]{4 x-6}

Passo 1

O enunciado dá a função real y=\sqrt[3]{4x-6} e pede para determinar o domínio dessa função.
Informações importantes do enunciado (já estão na forma matemática):
  • A função é y=\sqrt[3]{4x-6}.
  • O radicando (a expressão dentro da raiz) é 4x-6.
    A pergunta explícita: qual é o conjunto de valores de x (domínio) para os quais a expressão y=\sqrt[3]{4x-6} está bem definida como número real?

Passo 2

Entendendo o conceito de raiz n-ésima real (noção que vamos usar):
  • Para um índice n par (por exemplo 2, 4, …), a raiz n-ésima real \sqrt[n]{a} está definida somente quando a\ge 0, porque não existe número real cujo quadrado (ou quarta potência par) seja negativo.
  • Para um índice n ímpar (por exemplo 1, 3, 5, …), a raiz n-ésima real \sqrt[n]{a} está definida para todo a\in\mathbb{R}, porque existe sempre um número real cujo cubo (ou quinta potência ímpar) é qualquer número real dado (positivo, negativo ou zero).

Passo 3

Explicando por que a raiz de índice ímpar aceita radicando negativo (didático):
  • A relação fundamental é: b=\sqrt[3]{a} se, e somente se, b^3=a.
  • A função g(b)=b^3 é uma função que toma qualquer número real b e dá um resultado real b^3. Essa função é bijetora (cada valor real a tem exatamente um b com b^3=a). Logo, para todo a\in\mathbb{R} existe exatamente um b\in\mathbb{R} tal que b^3=a. Isso garante que \sqrt[3]{a} sempre existe e é real para qualquer a.

Passo 4

Aplicando essa ideia ao nosso caso: o índice da raiz é 3 (ímpar). O radicando é 4x-6, que pode assumir qualquer valor real à medida que x varia:
  • Não há restrição do tipo 4x-6\ge 0 porque essa restrição só aparece quando o índice é par.
  • Para n=3 (raiz cúbica) qualquer valor real de 4x-6 tem uma raiz cúbica real correspondente. Portanto não existe restrição sobre x vinda do radicando.

Passo 5

Conclusão lógica direta: como a raiz é de índice ímpar, todos os valores de x\in\mathbb{R} tornam 4x-6 um número real, e a raiz cúbica desse número existe e é real. Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 6

Representações usuais do domínio (duas formas equivalentes, escolha a que preferir na prova):
  • Notação em conjuntos: \mathbb{R}.
  • Notação em intervalo: (-\infty,\infty).

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar (práticos, veja como funciona na hora da prova):
  • Se x=0 então y=\sqrt[3]{4\cdot 0-6}=\sqrt[3]{-6}, que é um número real (aproximadamente -1{,}817).
  • Se x=2 então y=\sqrt[3]{4\cdot 2-6}=\sqrt[3]{2}, também real (aproximadamente 1{,}26).
    Esses exemplos mostram que tanto radicando negativo quanto positivo produzem y real.

Resposta

\mathbb{R}
(-\infty,\infty)

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