Dada
, tal que
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em todo o conjunto dos reais:
O que é pedido: determinar a expressão de
, ou seja, a função
avaliada no argumento
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio de segundo grau com coeficientes
(para ), (para ) e (termo constante). - Deve-se substituir o argumento
por e simplificar.
Passo 2
Regra básica (mini-aula): para calcular
em um novo argumento, por exemplo
, substitui-se toda ocorrência de
na fórmula de
por
. Em palavras: “troca o
por
em toda a expressão”. Exemplo rápido: se
então
.
Aplicando a regra ao nosso caso:
Passo 3
Agora vamos expandir passo a passo. Primeiro desenvolver o quadrado:
Multiplicando por
:
Também expandimos o termo linear:
Passo 4
Somamos todos os termos obtidos (lembre: somar polinômios combina termos semelhantes — termos com mesma potência de
):
Agrupando termos semelhantes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Portanto,
Passo 5
Simplificando a notação (zerar o termo constante nulo):
Verificação rápida (cheque de prova): escolha um valor numérico para
, por exemplo
. Pela fórmula final,
Pela definição original calculando diretamente
:
Os resultados coincidem, ótima confirmação.