Dada f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, tal que f(x)=2 x^{2}-3 x+1, determine f(x+1).

Passo 1

O enunciado dá a função definida em todo o conjunto dos reais:
f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=2x^{2}-3x+1.
O que é pedido: determinar a expressão de f(x+1), ou seja, a função f avaliada no argumento x+1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio de segundo grau com coeficientes 2 (para x^{2}), -3 (para x) e 1 (termo constante).
  • Deve-se substituir o argumento x por x+1 e simplificar.

Passo 2

Regra básica (mini-aula): para calcular f em um novo argumento, por exemplo f(x+1), substitui-se toda ocorrência de x na fórmula de f por (x+1). Em palavras: “troca o x por x+1 em toda a expressão”. Exemplo rápido: se g(x)=x^{2} então g(x+1)=(x+1)^{2}.
Aplicando a regra ao nosso caso:
f(x+1)=2\,(x+1)^{2}-3\,(x+1)+1.

Passo 3

Agora vamos expandir passo a passo. Primeiro desenvolver o quadrado:
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1.
Multiplicando por 2:
2\,(x+1)^{2}=2x^{2}+4x+2.
Também expandimos o termo linear:
-3\,(x+1)=-3x-3.

Passo 4

Somamos todos os termos obtidos (lembre: somar polinômios combina termos semelhantes — termos com mesma potência de x):
f(x+1)=\bigl(2x^{2}+4x+2\bigr)+\bigl(-3x-3\bigr)+1.
Agrupando termos semelhantes:
  • Coeficiente de x^{2}: 2x^{2}.
  • Coeficiente de x: 4x-3x = x.
  • Termo constante: 2-3+1 = 0.
Portanto,
f(x+1)=2x^{2}+x+0.

Passo 5

Simplificando a notação (zerar o termo constante nulo):
f(x+1)=2x^{2}+x.
Verificação rápida (cheque de prova): escolha um valor numérico para x, por exemplo x=1. Pela fórmula final,
f(1+1)=f(2)=2\cdot1^{2}+1=3.
Pela definição original calculando diretamente f(2):
f(2)=2\cdot2^{2}-3\cdot2+1=8-6+1=3.
Os resultados coincidem, ótima confirmação.

Resposta

f(x+1)=2x^{2}+x

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