Determine o domíno, a imagem e esboce curvas de nível da função. Utilize as curvas de nível para esboçar o gráfico da função.
;
Passo 1
A função dada é
. O conteúdo aqui é estudo de funções de duas variáveis: domínio natural de expressões polinomiais, cálculo de imagem usando desigualdades e curvas de nível definidas por
. Vamos precisar usar que
é sempre não-negativo e a definição de curvas de nível para funções de duas variáveis.
Passo 2
Para encontrar o domínio, basta notar que não há raiz, fração ou logaritmo: a expressão
está bem definida para todo
. Logo, o domínio é todo o
.
Passo 3
Para achar a imagem, observe que
para todo
. Então
, e
, então a imagem é o intervalo
.
Passo 4
Fixando um nível
e resolvendo
temos
, ou
. Se
não há solução real, se
a solução é
e se
temos círculos de raio
centrados na origem.
Passo 5
Para esboçar o gráfico 3D, imaginamos as curvas de nível empilhadas: cada círculo de raio
fica num plano de altura
, formando um paraboloide voltado para baixo com vértice em
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: