Determine o domíno, a imagem e esboce curvas de nível da função. Utilize as curvas de nível para esboçar o gráfico da função.
f(x, y)=9-x^2-y^2;

Passo 1

A função dada é f(x,y)=9 - x^2 - y^2. O conteúdo aqui é estudo de funções de duas variáveis: domínio natural de expressões polinomiais, cálculo de imagem usando desigualdades e curvas de nível definidas por f(x,y)=c. Vamos precisar usar que x^2+y^2 é sempre não-negativo e a definição de curvas de nível para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para encontrar o domínio, basta notar que não há raiz, fração ou logaritmo: a expressão 9 - x^2 - y^2 está bem definida para todo (x,y). Logo, o domínio é todo o R^2.

Passo 3

Para achar a imagem, observe que x^2 + y^2 >= 0 para todo (x,y). Então f(x,y) = 9 - x^2 - y^2 <= 9, e f(0,0) = 9, então a imagem é o intervalo (-infty, 9].

Passo 4

Fixando um nível c e resolvendo f(x,y)=c temos 9 - x^2 - y^2 = c, ou x^2 + y^2 = 9-c. Se c>9 não há solução real, se c=9 a solução é (0,0) e se c<9 temos círculos de raio raiz9-c centrados na origem.

Passo 5

Para esboçar o gráfico 3D, imaginamos as curvas de nível empilhadas: cada círculo de raio raiz9-c fica num plano de altura z=c, formando um paraboloide voltado para baixo com vértice em (0,0,9).

Resposta

Domínio: R^2
Imagem: ( -infty,,9 ]

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