O que
lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L
significa? Como mostrar que esse limite não existe?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta o que significa o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (a, b), representado por:
lim (x, y) (a, b) f(x, y) = L
Além disso, a gente precisa entender como demonstrar que esse limite não existe. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites multivariáveis e métodos para verificar a existência ou não do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa esse limite. Quando a gente escreve:
lim (x, y) (a, b) f(x, y) = L
Isso quer dizer que, à medida que os valores de x e y se aproximam de a e b respectivamente, o valor da função f(x, y) se aproxima de L. Ou seja, conseguimos fazer f(x, y) ficar tão perto de L quanto quisermos, escolhendo (x, y) suficientemente próximo de (a, b).

Passo 3

Agora, como mostrar que esse limite não existe? Uma maneira comum de fazer isso é mostrando que ao se aproximar de (a, b) por caminhos diferentes, a função tende a valores diferentes. Se isso acontecer, o limite não pode ser único, então ele não existe.
Por exemplo, podemos:
  1. Escolher dois caminhos diferentes que se aproximem de (a, b).
  2. Calcular o limite de f(x, y) ao longo de cada caminho.
  3. Se os limites forem diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

Então, resumindo: O limite lim (x, y) (a, b) f(x, y) = L significa que conforme (x, y) se aproxima de (a, b), f(x, y) se aproxima de L. Para mostrar que esse limite não existe, a gente pode demonstrar que ao se aproximar de (a, b) por diferentes caminhos, a função tende a diferentes valores, indicando que o limite não é único.

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