Determine dy/dx por derivaçāo implicita.
x ln(y) + y ln(x) = x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando derivação implícita. A gente tem a equação e precisamos achar . Pra isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação separadamente. Lembre-se que quando temos uma função composta, como , a gente precisa usar a regra da cadeia.
  • Diferenciando :
    Usamos a regra do produto, que diz que . Simplificando:

Passo 3

  • Diferenciando :
    Mais uma vez, usamos a regra do produto. Simplificando:

Passo 4

  • Diferenciando :
    Novamente, aplicamos a regra do produto. Simplificando:

Passo 5

Agora, juntamos todas as derivadas na equação original:

Passo 6

Vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:

Passo 7

Fatoramos no lado esquerdo:

Passo 8

Por fim, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica ele:

Resposta

A derivada é dada por:

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