Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. Ache o raio de convergência
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Taylor da função , centrada em
. Para isso, precisamos lembrar que a série de Taylor expande uma função em série polinomial em torno de um ponto específico. Além disso, vamos precisar calcular a derivadas da função e avaliar essas derivadas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da série de Taylor para uma função
centrada em
:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de e avaliar em
:
- →
-
→ - →
-
→ - →
- E assim por diante…
Passo 4
Observando o padrão das derivadas, vemos que as derivadas de ordem par (segunda, quarta, etc.) avaliam para zero, enquanto as derivadas de ordem ímpar alternam entre -1 e 1. Portanto, a série de Taylor será composta apenas pelos termos ímpares.
Passo 5
Vamos montar a série usando os termos não nulos:
E sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, para encontrar o raio de convergência da série, utilizamos o fato de que a série de Taylor da função em qualquer ponto tem o mesmo raio de convergência que a série original em torno de zero, que é infinito. Isso ocorre porque é uma função inteira, ou seja, analítica em todo o plano complexo.
Resposta
A série de Taylor de centrada em
é
e o raio de convergência é infinito.