Determine if each sequence x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period N.
x(n)=\cos \left(\frac{8 \pi}{31} n\right);

Passo 1

O enunciado dá a sequência discreta
x(n)=\cos\!\left(\frac{8\pi}{31}n\right)
e pede para:
  • determinar se x(n) é periódica (no sentido discreto);
  • caso seja periódica, encontrar o período fundamental N (um inteiro positivo).
As informações relevantes: o argumento do cosseno é \omega_0 n com \omega_0=\dfrac{8\pi}{31}.

Passo 2

Definição (passo-a-passo, sem pular etapas). Uma sequência discreta x(n) é periódica se existe um inteiro positivo N tal que
x(n+N)=x(n)\quad\text{para todo inteiro }n.
Para uma sequência do tipo x(n)=\cos(\omega_0 n), a condição de igualdade é
\cos\!\big(\omega_0(n+N)\big)=\cos(\omega_0 n)\quad\text{para todo }n.
Vou trabalhar a partir dessa igualdade para obter uma condição explícita sobre \omega_0 e N.

Passo 3

Uso a identidade de adição do cosseno e organizo a igualdade:
\cos(\omega_0 n+\omega_0 N)=\cos(\omega_0 n).
Aplicando \cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B com A=\omega_0 n e B=\omega_0 N, obtemos
\cos(\omega_0 n)\big(\cos(\omega_0 N)-1\big)-\sin(\omega_0 n)\sin(\omega_0 N)=0
para todo inteiro n. Isso é uma igualdade entre funções de n. Para que isso valha para todo n (ou seja, para todos os valores de \cos(\omega_0 n) e \sin(\omega_0 n)), é necessário e suficiente que os coeficientes sejam zero:
\cos(\omega_0 N)-1=0 \qquad\text{e}\qquad \sin(\omega_0 N)=0.
As duas condições juntas implicam
\omega_0 N = 2\pi m
para algum inteiro m. Portanto, a sequência é periódica exatamente quando existe inteiro m e inteiro positivo N tais que
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{m}{N}.
Isto mostra a condição padrão: \dfrac{\omega_0}{2\pi} deve ser um número racional.

Passo 4

Convenção prática: se
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{p}{q}
com \dfrac{p}{q} em termos irredutíveis (ou seja, \gcd(p,q)=1), então
\omega_0 q = 2\pi p,
logo N=q é um período (porque \omega_0 N = 2\pi p). Além disso q é o menor período positivo possível (o período fundamental), pois se existisse N'<q com \omega_0 N'=2\pi m' então isso daria uma relação racional com denominador menor contradizendo que p/q está reduzido.

Passo 5

Agora aplico isso ao caso dado. Primeiro calculo a razão \dfrac{\omega_0}{2\pi} para \omega_0=\dfrac{8\pi}{31}:
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{\tfrac{8\pi}{31}}{2\pi}=\frac{8}{62}=\frac{4}{31}.
A fração \dfrac{4}{31} já está em termos irredutíveis, pois \gcd(4,31)=1 (note que 31 é primo e não divide 4).

Passo 6

Pelo passo anterior, escrevemos
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{p}{q}=\frac{4}{31},
logo q=31 é um período. Para verificar minimalidade: a condição \omega_0 N = 2\pi m fica
\frac{4N}{31}=m,
ou seja, 31 deve dividir 4N. Como \gcd(4,31)=1, isso implica que 31 deve dividir N, portanto o menor N>0 que satisfaz é N=31.

Passo 7

Resumo técnico (aprender para a prova): a sequência x(n)=\cos(\omega_0 n) é periódica em n se e só se \dfrac{\omega_0}{2\pi} for racional; escrevendo essa razão em \dfrac{p}{q} reduzido, o período fundamental é N=q. No caso específico \dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{4}{31}, portanto o período fundamental é 31.

Resposta

A sequência é periódica e seu período fundamental é N=31.

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