Determine if each sequence
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period
.
;
Passo 1
O enunciado dá a sequência discreta
e pede para:
- determinar se
é periódica (no sentido discreto); - caso seja periódica, encontrar o período fundamental
(um inteiro positivo).
As informações relevantes: o argumento do cosseno é
com
.
Passo 2
Definição (passo-a-passo, sem pular etapas). Uma sequência discreta
é periódica se existe um inteiro positivo
tal que
Para uma sequência do tipo
, a condição de igualdade é
Vou trabalhar a partir dessa igualdade para obter uma condição explícita sobre
e
.
Passo 3
Uso a identidade de adição do cosseno e organizo a igualdade:
Aplicando
com
e
, obtemos
para todo inteiro
. Isso é uma igualdade entre funções de
. Para que isso valha para todo
(ou seja, para todos os valores de
e
), é necessário e suficiente que os coeficientes sejam zero:
As duas condições juntas implicam
para algum inteiro
. Portanto, a sequência é periódica exatamente quando existe inteiro
e inteiro positivo
tais que
Isto mostra a condição padrão:
deve ser um número racional.
Passo 4
Convenção prática: se
com
em termos irredutíveis (ou seja,
), então
logo
é um período (porque
). Além disso
é o menor período positivo possível (o período fundamental), pois se existisse
com
então isso daria uma relação racional com denominador menor contradizendo que
está reduzido.
Passo 5
Agora aplico isso ao caso dado. Primeiro calculo a razão
para
:
A fração
já está em termos irredutíveis, pois
(note que
é primo e não divide
).
Passo 6
Pelo passo anterior, escrevemos
logo
é um período. Para verificar minimalidade: a condição
fica
ou seja,
deve dividir
. Como
, isso implica que
deve dividir
, portanto o menor
que satisfaz é
.
Passo 7
Resumo técnico (aprender para a prova): a sequência
é periódica em
se e só se
for racional; escrevendo essa razão em
reduzido, o período fundamental é
. No caso específico
, portanto o período fundamental é
.
Resposta
A sequência é periódica e seu período fundamental é
.