Determine if each sequence
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period
.
;
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela é periódica e, se for, encontrar o período fundamental
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A frequência angular discreta é
. - A fase é
(em radianos). - Queremos um inteiro
tal que para todo .
Passo 2
Regra básica (explicada de forma simples): uma sequência do tipo
é periódica no tempo discreto se, e somente se, a razão
for um número racional. Mais precisamente, é necessário existir um inteiro
tal que
para algum inteiro
. Se escrevermos
em termos irredutíveis (com
inteiros e
), então o menor período inteiro positivo possível é
.
Por que isso? Porque queremos que, para todo ,
Por que isso? Porque queremos que, para todo
Para que a função seno tenha o mesmo valor para todos os argumentos
e
deve ocorrer
(já que
e nenhum outro deslocamento garante igualdade para todos os
).
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: calcule
Isso é racional e já está na forma irredutível
com
e
. Pelo critério acima, a sequência é periódica e um período inteiro possível é
.
Passo 4
Fazendo a verificação direta para
:
portanto
realmente funciona.]
Passo 5
Mostrando que
é o período fundamental (o menor positivo): a condição
leva a
Como
, a igualdade
força
a ser múltiplo de
. Assim o menor
possível é
. Note também que a fase
não altera essa condição de periodicidade; ela só desloca a forma da onda mas não impede a repetição quando
é múltiplo de
.
Resposta
A sequência é periódica com período fundamental
.