Determine if each sequence x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period N.
x(n)=\sin \left(\frac{6 \pi}{7} n+1\right);

Passo 1

O enunciado dá a sequência
x(n)=\sin\!\left(\frac{6\pi}{7}n+1\right),
e pede para determinar se ela é periódica e, se for, encontrar o período fundamental N.
Informações relevantes que temos:
  • A frequência angular discreta é \omega_0=\dfrac{6\pi}{7}.
  • A fase é \varphi=1 (em radianos).
  • Queremos um inteiro N>0 tal que x(n+N)=x(n) para todo n\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Regra básica (explicada de forma simples): uma sequência do tipo \sin(\omega_0 n+\varphi) é periódica no tempo discreto se, e somente se, a razão \dfrac{\omega_0}{2\pi} for um número racional. Mais precisamente, é necessário existir um inteiro m tal que
\omega_0 N = 2\pi m
para algum inteiro N>0. Se escrevermos \dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{p}{q} em termos irredutíveis (com p,q inteiros e q>0), então o menor período inteiro positivo possível é N=q.
Por que isso? Porque queremos que, para todo n,
\sin\big(\omega_0(n+N)+\varphi\big)=\sin\big(\omega_0 n+\varphi\big).
Para que a função seno tenha o mesmo valor para todos os argumentos \alpha e \alpha+\omega_0 N deve ocorrer \omega_0 N=2\pi m (já que \sin(\alpha+2\pi m)=\sin\alpha e nenhum outro deslocamento garante igualdade para todos os \alpha).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: calcule
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{\tfrac{6\pi}{7}}{2\pi}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}.
Isso é racional e já está na forma irredutível \dfrac{p}{q}=\dfrac{3}{7} com p=3 e q=7. Pelo critério acima, a sequência é periódica e um período inteiro possível é N=q=7.

Passo 4

Fazendo a verificação direta para N=7:
\begin{aligned} x(n+7)&=\sin\!\left(\frac{6\pi}{7}(n+7)+1\right) =\sin\!\left(\frac{6\pi}{7}n+6\pi+1\right)\\[4pt] &=\sin\!\left(\frac{6\pi}{7}n+1+2\pi\cdot 3\right) =\sin\!\left(\frac{6\pi}{7}n+1\right)=x(n), \end{aligned}
portanto N=7 realmente funciona.]

Passo 5

Mostrando que 7 é o período fundamental (o menor positivo): a condição \omega_0 N=2\pi m leva a
\frac{6}{7}N=2m \quad\Longrightarrow\quad 3N=7m.
Como \gcd(3,7)=1, a igualdade 3N=7m força N a ser múltiplo de 7. Assim o menor N>0 possível é N=7. Note também que a fase \varphi=1 não altera essa condição de periodicidade; ela só desloca a forma da onda mas não impede a repetição quando \omega_0 N é múltiplo de 2\pi.

Resposta

A sequência é periódica com período fundamental N=7.

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