Determine if each sequence x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period N.
x(n)=\cos (2 n);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência discreta x(n)=\cos(2n) é periódica e, se for, encontrar o período fundamental N. Informações dadas:
  • A sequência é definida para n\in\mathbb{Z}.
  • A expressão é x(n)=\cos(2n), onde 2n está em radianos.

Passo 2

Definição chave (passo-a-passo didático): uma sequência discreta x(n) é periódica se existir um inteiro positivo N tal que
x(n+N)=x(n)\quad\text{para todo }n\in\mathbb{Z}.
Esse N deve ser um inteiro positivo; o período fundamental é o menor desses N.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa sequência: queremos N\in\mathbb{Z}^+ tal que, para todo n,
\cos\bigl(2(n+N)\bigr)=\cos(2n).
Usando a propriedade do cosseno \cos(\theta+2\pi m)=\cos(\theta) para qualquer m\in\mathbb{Z}, a igualdade acima exige que exista um inteiro m (que pode depender de N, mas deve ser inteiro) com
2(n+N)=2n+2\pi m.
Cancelando 2n dos dois lados obtemos a condição simples e independente de n:
2N=2\pi m.

Passo 4

Simplificando a condição:
N=\pi m.
Aqui m deve ser um inteiro e N deve ser um inteiro positivo. Isso significa que \pi teria de ser a razão de dois inteiros:
\pi=\frac{N}{m}.
Mas \pi é um número irracional — não pode ser escrito como razão de dois inteiros. A única maneira de satisfazer N=\pi m com N inteiro seria ter m=0, que dá N=0, mas N=0 não é um período válido (é trivial e não aceita-se como período). Portanto não existe N\in\mathbb{Z}^+ que satisfaça a condição.

Passo 5

Interpretação alternativa curta (útil para prova): a condição de periodicidade para x(n)=\cos(\omega n) é que \dfrac{\omega}{2\pi} seja um número racional. No nosso caso
\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2}{2\pi}=\frac{1}{\pi},
e \dfrac{1}{\pi} é irracional. Logo a sequência não é periódica. (Exemplos para fixar: se \omega=\pi então \omega/(2\pi)=1/2 racional e x(n)=\cos(\pi n) é periódica com período fundamental N=2.)

Resposta

A sequência x(n)=\cos(2n) não é periódica.

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