Determine if each sequence
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period
.
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência discreta
é periódica e, se for, encontrar o período fundamental
. Informações dadas:
- A sequência é definida para
. - A expressão é
, onde está em radianos.
Passo 2
Definição chave (passo-a-passo didático): uma sequência discreta
é periódica se existir um inteiro positivo
tal que
Esse
deve ser um inteiro positivo; o período fundamental é o menor desses
.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa sequência: queremos
tal que, para todo
,
Usando a propriedade do cosseno
para qualquer
, a igualdade acima exige que exista um inteiro
(que pode depender de
, mas deve ser inteiro) com
Cancelando
dos dois lados obtemos a condição simples e independente de
:
Passo 4
Simplificando a condição:
Aqui
deve ser um inteiro e
deve ser um inteiro positivo. Isso significa que
teria de ser a razão de dois inteiros:
Mas
é um número irracional — não pode ser escrito como razão de dois inteiros. A única maneira de satisfazer
com
inteiro seria ter
, que dá
, mas
não é um período válido (é trivial e não aceita-se como período). Portanto não existe
que satisfaça a condição.
Passo 5
Interpretação alternativa curta (útil para prova): a condição de periodicidade para
é que
seja um número racional. No nosso caso
e
é irracional. Logo a sequência não é periódica. (Exemplos para fixar: se
então
racional e
é periódica com período fundamental
.)
Resposta
A sequência
não é periódica.