Determine if each sequence
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period
.
; and
Passo 1
O enunciado dá a sequência discreta
e pede para determinar se ela é periódica. Se for periódica, pede também o período fundamental
(um inteiro positivo). Vou listar explicitamente o que é dado e o que se pede:
- Dado:
. - Pedido: decidir se existe um inteiro
tal que para todo inteiro . Se existir, encontrar o menor desses (o período fundamental).
Passo 2
Definição e condição geral para senóide discreta: uma sequência do tipo
é periódica se existir um inteiro
tal que
Como a função seno tem período
no argumento, a condição acima equivale a exigir que a diferença no argumento ao avançar
amostras seja múltipla inteira de
. Ou seja, deve existir um inteiro
tal que
Portanto a condição necessária e suficiente é
para alguns inteiros
e
. Aqui:
-
é a frequência angular (radianos por amostra), -
é o período em número de amostras (inteiro), -
é um inteiro que conta quantos ciclos completos do seno aparecem ao avançar amostras.
Passo 3
Reescrevendo a condição em termos de razão, a sequência é periódica se, e somente se, a razão
for um número racional
com
,
. Nesse caso o menor período inteiro
corresponde ao menor denominador possível quando a fração
é escrita em termos de numerador e denominador inteiros coprimos.
Passo 4
Aplicando ao caso dado: aqui
e
. A condição de periodicidade exige inteiros
e
tais que
Isolando
obtemos
Passo 5
Análise da expressão
: para
ser um inteiro positivo é necessário que
seja inteiro para algum inteiro
. Mas
é um número irracional; portanto
também é irracional para qualquer inteiro
. Assim não existe
inteiro que torne
um inteiro positivo. Em linguagem de prova por contradição: se supuséssemos que
fosse racional, então
seria racional, contradizendo o fato conhecido de que
é irracional. Logo a razão
é irracional e não existe período inteiro
.
Observação sobre o termo de fase
: a fase não altera a condição de periodicidade, pois ela se cancela na diferença
; só
determina se existe
.
Passo 6
Conclusão: não existe inteiro
tal que
para todo
. Portanto a sequência dada não é periódica.
Resposta
A sequência não é periódica.