Determine if each sequence x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period N.
x(n)=\sin \left(\frac{1}{10} n-\pi\right); and

Passo 1

O enunciado dá a sequência discreta
x(n)=\sin\!\left(\frac{1}{10}n-\pi\right)
e pede para determinar se ela é periódica. Se for periódica, pede também o período fundamental N (um inteiro positivo). Vou listar explicitamente o que é dado e o que se pede:
  • Dado: x(n)=\sin\!\left(\dfrac{1}{10}n-\pi\right).
  • Pedido: decidir se existe um inteiro N>0 tal que x(n+N)=x(n) para todo inteiro n. Se existir, encontrar o menor desses N (o período fundamental).

Passo 2

Definição e condição geral para senóide discreta: uma sequência do tipo
x(n)=\sin(\omega_0 n+\varphi)
é periódica se existir um inteiro N>0 tal que
x(n+N)=x(n)\quad\text{para todo inteiro }n.
Como a função seno tem período 2\pi no argumento, a condição acima equivale a exigir que a diferença no argumento ao avançar N amostras seja múltipla inteira de 2\pi. Ou seja, deve existir um inteiro m tal que
\omega_0 (n+N)+\varphi - (\omega_0 n+\varphi)=\omega_0 N = 2\pi m.
Portanto a condição necessária e suficiente é
\omega_0 N = 2\pi m
para alguns inteiros m e N>0. Aqui:
  • \omega_0 é a frequência angular (radianos por amostra),
  • N é o período em número de amostras (inteiro),
  • m é um inteiro que conta quantos ciclos completos do seno aparecem ao avançar N amostras.

Passo 3

Reescrevendo a condição em termos de razão, a sequência é periódica se, e somente se, a razão
\frac{\omega_0}{2\pi}
for um número racional =\dfrac{m}{N} com m,N\in\mathbb{Z}, N>0. Nesse caso o menor período inteiro N corresponde ao menor denominador possível quando a fração \dfrac{\omega_0}{2\pi} é escrita em termos de numerador e denominador inteiros coprimos.

Passo 4

Aplicando ao caso dado: aqui \omega_0=\dfrac{1}{10} e \varphi=-\pi. A condição de periodicidade exige inteiros N>0 e m tais que
\frac{1}{10}N = 2\pi m.
Isolando N obtemos
N = 20\pi m.

Passo 5

Análise da expressão N = 20\pi m: para N ser um inteiro positivo é necessário que 20\pi m seja inteiro para algum inteiro m\neq 0. Mas \pi é um número irracional; portanto 20\pi m também é irracional para qualquer inteiro m\neq 0. Assim não existe m inteiro que torne N=20\pi m um inteiro positivo. Em linguagem de prova por contradição: se supuséssemos que \dfrac{1}{10}/(2\pi)=\dfrac{1}{20\pi} fosse racional, então \pi seria racional, contradizendo o fato conhecido de que \pi é irracional. Logo a razão \dfrac{\omega_0}{2\pi} é irracional e não existe período inteiro N.
Observação sobre o termo de fase -\pi: a fase não altera a condição de periodicidade, pois ela se cancela na diferença x(n+N)-x(n); só \omega_0 determina se existe N.

Passo 6

Conclusão: não existe inteiro N>0 tal que x(n+N)=x(n) para todo n. Portanto a sequência dada não é periódica.

Resposta

A sequência não é periódica.

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