Determine uma edo linear, cuja solução geral é dada por:
.
Passo 1
O enunciado pede uma equação diferencial linear em que a solução geral seja
Percebemos que as quatro soluções independentes
da parte homogênea têm expoentes
isto é, trata-se de uma equação de Euler–Cauchy de quarta ordem. Além disso,
é uma solução particular não homogênea.
Passo 2
Para a parte homogênea usamos o operador de Euler
. Se chamarmos
, então monômios
satisfazem
. Logo, desejamos que os fatores do operador homógeneo anulem
, ou seja, sejam
Assim o operador homogêneo é
onde
.
Passo 3
A equação homogênea é
Para incluir a parte não homogênea, aplicamos esse mesmo operador em
. Como
seguem
Logo
Passo 4
Portanto, a equação diferencial completa fica
Para escrever em forma “clássica” de Euler–Cauchy, expandimos
e então
gera, após multiplicar e somar termos,
Resposta
A equação diferencial de Euler–Cauchy cuja solução geral é
é