Determine uma edo linear, cuja solução geral é dada por:
y=c_{1} x^{-1}+c_{2} x^{7}+c_{3} x^{-3}+c_{4} x^{3}-24 x^{4} / 7.

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear em que a solução geral seja
y = c_{1}x^{-1} + c_{2}x^{7} + c_{3}x^{-3} + c_{4}x^{3} - \frac{24}{7}x^{4}.
Percebemos que as quatro soluções independentes x^{r} da parte homogênea têm expoentes
r=-1,\;7,\;-3,\;3,
isto é, trata-se de uma equação de Euler–Cauchy de quarta ordem. Além disso, y_{p}(x)=-\tfrac{24}{7}x^{4} é uma solução particular não homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea usamos o operador de Euler \displaystyle x\frac{d}{dx}. Se chamarmos D=x\frac{d}{dx}, então monômios x^{r} satisfazem D[x^{r}]=r\,x^{r}. Logo, desejamos que os fatores do operador homógeneo anulem r=-1,7,-3,3, ou seja, sejam
(D+1),\;(D-7),\;(D+3),\;(D-3).
Assim o operador homogêneo é
(D+1)(D-7)(D+3)(D-3),
onde D = x\frac{d}{dx}.

Passo 3

A equação homogênea é
(D+1)(D-7)(D+3)(D-3)\,y = 0.
Para incluir a parte não homogênea, aplicamos esse mesmo operador em y_{p}=-\tfrac{24}{7}x^{4}. Como
D[x^{4}]=4\,x^{4},
seguem
(D+1)(D-7)(D+3)(D-3)[x^{4}] =(4+1)(4-7)(4+3)(4-3)\,x^{4} =5\cdot(-3)\cdot7\cdot1\,x^{4} =-105\,x^{4}.
Logo
(D+1)(D-7)(D+3)(D-3)\Bigl[-\tfrac{24}{7}x^{4}\Bigr] =-\tfrac{24}{7}\,(-105\,x^{4}) =\;360\,x^{4}.

Passo 4

Portanto, a equação diferencial completa fica
(D+1)(D-7)(D+3)(D-3)\,y \;=\;360\,x^{4}, \quad D = x\frac{d}{dx}.
Para escrever em forma “clássica” de Euler–Cauchy, expandimos
(D+1)(D-7)=x^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}-6x\frac{d}{dx}-7, \quad (D+3)(D-3)=x^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}-9,
e então
\bigl(x^{2}y''-6xy'-7y\bigr)\;\text{aplicado a}\;(x^{2}y''-9y)
gera, após multiplicar e somar termos,
x^{4}y^{(4)}-6x^{3}y^{(3)}-16x^{2}y''+54x\,y'+63y \;=\;360\,x^{4}.

Resposta

A equação diferencial de Euler–Cauchy cuja solução geral é
y=c_{1}x^{-1}+c_{2}x^{7}+c_{3}x^{-3}+c_{4}x^{3}-\tfrac{24}{7}x^{4}
é
x^{4}y^{(4)}-6x^{3}y^{(3)}-16x^{2}y''+54x\,y'+63y \;=\;360\,x^{4}.

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