Seja \delta(x, y, z) a função de densidade de massa de um fio no ponto ( x, y, z ).
(a) Explique como podemos calcular o centro de massa do fio descrito pela função vetorial dada por \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k}, \operatorname{com} t \in[a, b].
(b) Calcule o centro de massa do fio dado por \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}-1\right) \mathbf{j}+2 t \mathbf{k}, com t \in[-1,1] e \delta=15 \sqrt{y+2}.
(c) Calcule o centro de massa do fio dado por \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+\cos (2 t) \mathbf{j}+\sin (2 t) \mathbf{k}, com t \in[0,4 \pi] e \delta=y^{2}+z^{2}.
Passo 1
O enunciado trata do cálculo do centro de massa de um fio de densidade variável \delta(x,y,z) descrito por uma parametrização \mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}+z(t)\,\mathbf{k}, t\in[a,b]. O conteúdo é o cálculo de massa e centro de massa de curvas no espaço, usando integração de linha com densidade variável. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de massa