Seja \delta(x, y, z) a função de densidade de massa de um fio no ponto ( x, y, z ).
(a) Explique como podemos calcular o centro de massa do fio descrito pela função vetorial dada por \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k}, \operatorname{com} t \in[a, b].
(b) Calcule o centro de massa do fio dado por \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}-1\right) \mathbf{j}+2 t \mathbf{k}, com t \in[-1,1] e \delta=15 \sqrt{y+2}.
(c) Calcule o centro de massa do fio dado por \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+\cos (2 t) \mathbf{j}+\sin (2 t) \mathbf{k}, com t \in[0,4 \pi] e \delta=y^{2}+z^{2}.

Passo 1

O enunciado trata do cálculo do centro de massa de um fio de densidade variável \delta(x,y,z) descrito por uma parametrização \mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}+z(t)\,\mathbf{k}, t\in[a,b]. O conteúdo é o cálculo de massa e centro de massa de curvas no espaço, usando integração de linha com densidade variável. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de massa
M=\int_a^b\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt
e de centro de massa
\mathbf{R}_{cm}=\frac{1}{M}\int_a^b\mathbf{r}(t)\,\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Aplicando a teoria, as coordenadas do centro de massa são
x_{cm}=\frac{1}{M}\int_a^b x(t)\,\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt, \quad y_{cm}=\frac{1}{M}\int_a^b y(t)\,\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt, \quad z_{cm}=\frac{1}{M}\int_a^b z(t)\,\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.

Passo 3

Para \mathbf{r}(t)=(0,\;t^2-1,\;2t), t\in[-1,1], e \delta=15\sqrt{y+2}=15\sqrt{t^2+1}:
\mathbf{r}'(t)=(0,\,2t,\,2),\quad \|\mathbf{r}'(t)\|=2\sqrt{t^2+1},\quad \delta(\mathbf{r}(t))=15\sqrt{t^2+1}.
Então
d m=\delta\,ds=15\sqrt{t^2+1}\cdot2\sqrt{t^2+1}\,dt =30\,(t^2+1)\,dt.
A massa total é
M=\int_{-1}^1 30\,(t^2+1)\,dt =30\Bigl[\tfrac{t^3}{3}+t\Bigr]_{-1}^1 =80.
Agora os momentos:
\int x\,dm=0, \quad \int y\,dm=\int_{-1}^1(t^2-1)\,30\,(t^2+1)\,dt =30\int_{-1}^1(t^4-1)\,dt=-48, \quad \int z\,dm=\int_{-1}^1 2t\cdot30\,(t^2+1)\,dt=0.
Logo
x_{cm}=0,\quad y_{cm}=\frac{-48}{80}=-\frac{3}{5},\quad z_{cm}=0.

Passo 4

Para \mathbf{r}(t)=(t,\cos2t,\sin2t), t\in[0,4\pi], e \delta=y^2+z^2=\cos^2(2t)+\sin^2(2t)=1:
\mathbf{r}'(t)=(1,-2\sin2t,2\cos2t),\quad \|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{1+4(\sin^2 2t+\cos^2 2t)}=\sqrt5, \quad dm=1\cdot\sqrt5\,dt.
A massa total é
M=\int_0^{4\pi}\sqrt5\,dt=4\pi\sqrt5.
Os momentos são
\int x\,dm=\int_0^{4\pi}t\,\sqrt5\,dt =\sqrt5\Bigl[\tfrac{t^2}{2}\Bigr]_0^{4\pi} =8\pi^2\sqrt5, \quad \int y\,dm=\sqrt5\int_0^{4\pi}\cos2t\,dt=0, \quad \int z\,dm=\sqrt5\int_0^{4\pi}\sin2t\,dt=0.
Logo
x_{cm}=\frac{8\pi^2\sqrt5}{4\pi\sqrt5}=2\pi,\quad y_{cm}=0,\quad z_{cm}=0.

Resposta

(a) Para um fio com densidade \delta(x,y,z) e parametrização \mathbf{r}(t), t\in[a,b],
M=\int_a^b\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt, \quad \mathbf{R}_{cm}=\frac{1}{M}\int_a^b\mathbf{r}(t)\,\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
(b) \displaystyle\bigl(0,\,-\tfrac{3}{5},\,0\bigr).
(c) \displaystyle\bigl(2\pi,\,0,\,0\bigr).

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