Resolva as integrais indefinidas.
\int \frac{2 x^{4}}{\sqrt[3]{7-2 x^{5}}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2x^{4}}{\sqrt[3]{7-2x^{5}}}\,dx.
O conteúdo principal é integração por substituição, pois vemos uma função composta 7-2x^{5} dentro de uma raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 7 - 2x^{5},
de onde
du = -10x^{4}\,dx.

Passo 3

Isolamos x^{4}dx em termos de du:
x^{4}\,dx = -\tfrac{1}{10}\,du,
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2x^{4}\,dx = -\tfrac{1}{5}\,du.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int \frac{2x^{4}}{\sqrt[3]{7-2x^{5}}}\,dx = \int -\tfrac{1}{5}\,u^{-\tfrac{1}{3}}\,du = -\tfrac{1}{5}\int u^{-\tfrac{1}{3}}\,du = -\tfrac{1}{5}\cdot\frac{u^{\tfrac{2}{3}}}{\tfrac{2}{3}} + C = -\tfrac{3}{10}\,u^{\tfrac{2}{3}} + C.

Passo 5

Voltando a x, substituímos u = 7 - 2x^{5} e obtemos
-\tfrac{3}{10}\,(7 - 2x^{5})^{\tfrac{2}{3}} + C.

Resposta

-\tfrac{3}{10}\,(7 - 2x^{5})^{\tfrac{2}{3}} + C

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