Determine sem efeturar nenhum cálculo, se um sistema linear com a matriz completa dada tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Justifique suas respostas. Obs.: Consedere a última coluna que está do lado direito, como a igualdade do sistema.
[ccccc3 & -2 & 0 & 1 & 1 1 & 2 & -3 & 1 & -1 2 & 4 & -6 & 2 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear representado por uma matriz aumentada, e a missão é descobrir se esse sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, sem precisar fazer os cálculos. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre posto de matrizes e sistemas lineares. Vamos precisar entender o que é o posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada para fazer essa análise.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada do sistema. A matriz dos coeficientes são os números que multiplicam as variáveis no sistema, sem considerar a última coluna, que é a parte das constantes.
A matriz aumentada é a matriz completa que inclui a coluna das constantes do lado direito. No nosso caso:
Matriz dos coeficientes:
3 & -2 & 0 & 1 1 & 2 & -3 & 1 2 & 4 & -6 & 2
Matriz aumentada:
3 & -2 & 0 & 1 & 1 1 & 2 & -3 & 1 & -1 2 & 4 & -6 & 2 & 0

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o posto dessas matrizes. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Para sistemas lineares, a gente compara o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada:
  • Se os postos forem iguais e iguais ao número de incógnitas, o sistema tem uma única solução.
  • Se os postos forem iguais, mas menores que o número de incógnitas, o sistema tem infinitas soluções.
  • Se o posto da matriz aumentada for maior que o da matriz dos coeficientes, o sistema não tem solução.

Passo 4

Sem fazer os cálculos, observamos que a terceira linha da matriz aumentada é um múltiplo da segunda linha:
2 = 2 times 1, 4 = 2 times 2, -6 = 2 times (-3), 2 = 2 times 1, 0 = 2 times (-1)
Isso indica que a terceira linha não traz nenhuma informação nova para o sistema; ela é dependente das outras linhas. Portanto, o posto da matriz dos coeficientes é 2.
Como a última coluna também segue essa dependência, o posto da matriz aumentada também é 2.

Passo 5

Agora, sabemos que o número de incógnitas no sistema é 4 (já que temos 4 colunas de coeficientes). Como o posto das matrizes é 2, que é menor que o número de incógnitas, isso significa que existem infinitas soluções para o sistema. Isso acontece porque temos mais variáveis do que equações independentes, permitindo múltiplas combinações que satisfazem o sistema.

Resposta

O sistema linear possui infinitas soluções.

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