Seja
Será
A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pergunta se
A é diagonalizável. Para isso vamos calcular o polinômio característico, os autovalores e verificar se a soma das dimensões dos espaços próprios é igual a 3 (ordem de
A ).
Passo 2
O polinômio característico
chiA(lambda) de
A é
Expandindo pela primeira linha,
e calculando os menores,
Logo
e, ao fatorar,
Passo 3
Da fatoração obtemos os autovalores
lambda1=3 com multiplicidade algébrica 2
e
lambda2=5 com multiplicidade algébrica 1.
e
Passo 4
Para
lambda=3 resolvemos
(A-3I)x=0 .
As equações implicam
x1+x3=0 e
x2 livre, logo
Assim o espaço próprio de
lambda=3 tem dimensão geométrica 2.
Passo 5
Temos multiplicidade geométrica de
lambda=3 igual a 2 (que é sua multiplicidade algébrica) e de
lambda=5 igual a 1. Como
igual à ordem de
A , existem três autovetores linearmente independentes e, portanto,
A é diagonalizável.
Resposta
Sim,
A é diagonalizável, pois a soma das dimensões dos espaços próprios (
2 para
lambda=3 e
1 para
lambda=5 ) é igual a 3.