Seja
A=[lll 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4 ]
Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4
e pergunta se A é diagonalizável. Para isso vamos calcular o polinômio característico, os autovalores e verificar se a soma das dimensões dos espaços próprios é igual a 3 (ordem de A).

Passo 2

O polinômio característico chiA(lambda) de A é
chiA(lambda)=det 4-lambda & 0 & 1 2 & 3-lambda & 2 1 & 0 & 4-lambda
Expandindo pela primeira linha,
chiA(lambda) =(4-lambda)det3-lambda&20&4-lambda +1det2&3-lambda1&0
e calculando os menores,
det3-lambda&20&4-lambda=(3-lambda)(4-lambda),
det2&3-lambda1&0=-(3-lambda)
Logo
chiA(lambda) =(4-lambda)(3-lambda)(4-lambda)-(3-lambda) =(3-lambda)l((4-lambda)^2-1r)
e, ao fatorar,
chiA(lambda)=(3-lambda)^2(5-lambda)

Passo 3

Da fatoração obtemos os autovalores
lambda1=3 com multiplicidade algébrica 2
e
lambda2=5 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Para lambda=3 resolvemos (A-3I)x=0.
A-3I= 1 & 0 & 1 2 & 0 & 2 1 & 0 & 1
As equações implicam x1+x3=0 e x2 livre, logo
x=(x1,x2,x3)=(t,s,-t) =t,(1,0,-1)+s,(0,1,0)
Assim o espaço próprio de lambda=3 tem dimensão geométrica 2.

Passo 5

Temos multiplicidade geométrica de lambda=3 igual a 2 (que é sua multiplicidade algébrica) e de lambda=5 igual a 1. Como
2+1=3,
igual à ordem de A, existem três autovetores linearmente independentes e, portanto, A é diagonalizável.

Resposta

Sim, A é diagonalizável, pois a soma das dimensões dos espaços próprios ( 2 para lambda=3 e 1 para lambda=5) é igual a 3.

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