Determine, no eixo
, um ponto
que seja equidistante dos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado dá os pontos
e
e pede um ponto
que esteja no eixo
(equidistante de
e
).
Informações importantes que temos:
-
. -
. - Como
está no eixo , suas coordenadas têm a forma para algum número real . - A condição pedida é que a distância de
a seja igual à distância de a .
O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de
tal que o ponto
seja equidistante de
e
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula da distância no plano cartesiano. Para dois pontos quaisquer
e
, a distância entre eles é dada por
Aqui cada termo significa:
-
é a diferença das abscissas (distância horizontal), -
é a diferença das ordenadas (distância vertical), - e o teorema de Pitágoras justifica a raiz quadrada da soma dos quadrados.
Aplicaremos essa fórmula para
e
, com
.
Passo 3
Escrevemos a igualdade das distâncias
. Usando a fórmula:
A condição
fica
Passo 4
Para eliminar as raízes, elevamos ambos os lados ao quadrado. Como raízes quadradas retornam números não negativos, essa operação é segura (não gera soluções extraviadas desde que tenhamos a igualdade original).
Agora expandimos os quadrados e simplificamos passo a passo:
Substituindo,
Somando os termos constantes em cada lado:
Subtraindo
de ambos os lados (os
se cancelam):
Passando os termos com
para um lado e constantes para o outro:
Dividindo por
:
Passo 5
Concluímos que o ponto procurado é
. Vale a pena verificar rapidamente as distâncias para checar:
As duas distâncias coincidem, confirmação completa.
Se quiser uma visão geométrica rápida: a condição de equidistância define a mediatriz de
; a interseção da mediatriz com o eixo
é exatamente o ponto que encontramos.