Determine, no eixo O y, um ponto P que seja equidistante dos pontos A=(2,1) e B=(6,-3).

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(2,1) e B=(6,-3) e pede um ponto P que esteja no eixo O y (equidistante de A e B).
Informações importantes que temos:
  • A=(2,1).
  • B=(6,-3).
  • Como P está no eixo O y, suas coordenadas têm a forma P=(0,y) para algum número real y.
  • A condição pedida é que a distância de P a A seja igual à distância de P a B.
O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de y tal que o ponto P=(0,y) seja equidistante de A e B.

Passo 2

Vamos usar a fórmula da distância no plano cartesiano. Para dois pontos quaisquer (x_1,y_1) e (x_2,y_2), a distância entre eles é dada por
d\big((x_1,y_1),(x_2,y_2)\big)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.
Aqui cada termo significa:
  • (x_1-x_2) é a diferença das abscissas (distância horizontal),
  • (y_1-y_2) é a diferença das ordenadas (distância vertical),
  • e o teorema de Pitágoras justifica a raiz quadrada da soma dos quadrados.
Aplicaremos essa fórmula para PA e PB, com P=(0,y).

Passo 3

Escrevemos a igualdade das distâncias PA=PB. Usando a fórmula:
PA=\sqrt{(0-2)^2+(y-1)^2}=\sqrt{4+(y-1)^2},
PB=\sqrt{(0-6)^2+(y-(-3))^2}=\sqrt{36+(y+3)^2}.
A condição PA=PB fica
\sqrt{4+(y-1)^2}=\sqrt{36+(y+3)^2}.

Passo 4

Para eliminar as raízes, elevamos ambos os lados ao quadrado. Como raízes quadradas retornam números não negativos, essa operação é segura (não gera soluções extraviadas desde que tenhamos a igualdade original).
4+(y-1)^2=36+(y+3)^2.
Agora expandimos os quadrados e simplificamos passo a passo:
(y-1)^2 = y^2 - 2y + 1, \qquad (y+3)^2 = y^2 + 6y + 9.
Substituindo,
4 + (y^2 - 2y + 1) = 36 + (y^2 + 6y + 9).
Somando os termos constantes em cada lado:
y^2 - 2y + 5 = y^2 + 6y + 45.
Subtraindo y^2 de ambos os lados (os y^2 se cancelam):
-2y + 5 = 6y + 45.
Passando os termos com y para um lado e constantes para o outro:
-2y - 6y = 45 - 5,
-8y = 40.
Dividindo por -8:
y = -5.

Passo 5

Concluímos que o ponto procurado é P=(0,-5). Vale a pena verificar rapidamente as distâncias para checar:
PA=\sqrt{(0-2)^2+(-5-1)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40},
PB=\sqrt{(0-6)^2+(-5+3)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}.
As duas distâncias coincidem, confirmação completa.
Se quiser uma visão geométrica rápida: a condição de equidistância define a mediatriz de AB; a interseção da mediatriz com o eixo O y é exatamente o ponto que encontramos.

Resposta

(0,-5)

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