O objetivo desa questão é garantir que não haja nenhuma confusão entre ponto médio e ponto equidistante. Para isso, responda os itens a seguir:
a) Sejam A=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) e B=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) pontos quaisquer do espaço. Mostre que o ponto médio do segmento A B é equidistante de A e de B. (Assim, o ponto médio de um segmento é sempre equidistante das suas extremidades.)
b) Considere agora A=(1,-2,0) e B=(5,2,4). Seja P=(4,-1,2). Mostre que P é equidistante de A e de B, isto é, verifique que d(A, P)=d(B, P). Calcule o ponto médio M do segmento A B. O ponto médio M é igual a P ? (A resposta deve ser não. Isso mostra que um ponto equidistante pode não ser o ponto médio.)
c) Antes dessa questão, havia alguma confusão na sua cabeça entre ponto médio e equidistante? Conseguiu compreender melhor agora? Explique quais eram as suas dificuldades.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • (a) Para pontos quaisquer A=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right) e B=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right), mostrar que o ponto médio do segmento AB é equidistante de A e de B.
  • (b) Para A=(1,-2,0), B=(5,2,4) e P=(4,-1,2):
    • verificar que P é equidistante de A e de B, ou seja, mostrar que d(A,P)=d(B,P);
    • calcular o ponto médio M do segmento AB e verificar se M=P.
  • (c) Fazer uma reflexão pessoal sobre confusão entre ponto médio e ponto equidistante (explicar as dificuldades e se agora ficou claro).
Informações relevantes dadas:
  • Coordenadas gerais para (a): A=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), B=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right).
  • Coordenadas numéricas para (b): A=(1,-2,0), B=(5,2,4), P=(4,-1,2).

Passo 2

Lembrete e fórmula que vamos usar (explicadinha): a distância entre dois pontos no espaço \mathbb{R}^3 é a generalização do teorema de Pitágoras. Para pontos X=(x,y,z) e Y=(x',y',z'),
d(X,Y)=\sqrt{(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}.
Nessa fórmula cada diferença (x'-x), (y'-y), (z'-z) é a projeção da distância total nas direções coordenadas; somando os quadrados e tirando raiz volta-se à medida direta da distância euclidiana. Vou usar essa fórmula em todas as contas.
Também a fórmula do ponto médio de A e B é a média coordenada a coordenada:
M=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2},\dfrac{z_{1}+z_{2}}{2}\right).
Isto significa: para achar o meio do segmento, soma-se as coordenadas correspondentes e divide-se por 2.

Passo 3

Prova do item (a): mostrar que o ponto médio M é equidistante de A e B.
Defina M como acima:
M=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2},\dfrac{z_{1}+z_{2}}{2}\right).
Calcule d(A,M) usando a fórmula da distância:
\begin{aligned} d(A,M) &= \sqrt{\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(\dfrac{z_{1}+z_{2}}{2}-z_{1}\right)^{2}}\\[6pt] &= \sqrt{\left(\dfrac{x_{2}-x_{1}}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y_{2}-y_{1}}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{z_{2}-z_{1}}{2}\right)^{2}}\\[6pt] &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}. \end{aligned}
Agora calcule d(B,M):
\begin{aligned} d(B,M) &= \sqrt{\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}-x_{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}-y_{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{z_{1}+z_{2}}{2}-z_{2}\right)^{2}}\\[6pt] &= \sqrt{\left(\dfrac{x_{1}-x_{2}}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y_{1}-y_{2}}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{z_{1}-z_{2}}{2}\right)^{2}}\\[6pt] &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}. \end{aligned}
Como as expressões para d(A,M) e d(B,M) coincidem, obtemos
d(A,M)=d(B,M).
Comentário didático: deu para ver que ambas as distâncias são exatamente metade da distância total d(A,B), porque o ponto médio separa o segmento em dois segmentos congruentes. Isso prova (a): o ponto médio é sempre equidistante das extremidades.]

Passo 4

Resolvendo o item (b) numericamente: vérificar que P=(4,-1,2) é equidistante de A=(1,-2,0) e B=(5,2,4), e calcular o ponto médio M.
Calcule d(A,P). As diferenças coordenada a coordenada são:
4-1=3,\qquad -1-(-2)=1,\qquad 2-0=2.
Logo
\begin{aligned} d(A,P)&=\sqrt{3^{2}+1^{2}+2^{2}}\\[4pt] &=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}. \end{aligned}
Calcule d(B,P). As diferenças são:
4-5=-1,\qquad -1-2=-3,\qquad 2-4=-2.
Logo
\begin{aligned} d(B,P)&=\sqrt{(-1)^{2}+(-3)^{2}+(-2)^{2}}\\[4pt] &=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}. \end{aligned}
Portanto d(A,P)=d(B,P)=\sqrt{14}, ou seja, P é equidistante de A e B.
Agora calcule o ponto médio M de AB pela média das coordenadas:
M=\left(\dfrac{1+5}{2},\dfrac{-2+2}{2},\dfrac{0+4}{2}\right)=\left(3,0,2\right).
Comparando com P=(4,-1,2), vemos que M\neq P (as primeiras duas coordenadas são diferentes). Conclusão: embora P seja equidistante de A e B, ele não é o ponto médio do segmento AB.]

Passo 5

Interpretação geométrica e resposta ao item (c) — reflexão didática e pessoal (tom amistoso e encorajador).
O que frequentemente causa confusão é confundir “ser equidistante” com “estar no meio do segmento”. Agora ficou claro que:
  • “Ponto médio” é um único ponto bem específico: está sobre o segmento AB e divide-o em duas metades iguais; suas coordenadas são as médias das coordenadas de A e B.
  • “Equidistante de A e B” significa qualquer ponto X tal que d(X,A)=d(X,B). O conjunto de todos esses pontos forma um plano (no caso tridimensional) chamado plano mediador (ou plano perpendicular bissetor) de AB: é o conjunto de pontos cuja distância a A e a B é igual. Esse plano passa exatamente pelo ponto médio M e é perpendicular ao vetor \overrightarrow{AB}. Assim, o ponto médio é apenas a interseção desse plano com o segmento AB.
  • Então ser equidistante não obriga o ponto a estar sobre o segmento; existem infinitos pontos equidistantes (o plano mediador), e apenas um deles é o ponto médio (o que fica sobre o segmento).
Minhas (suas) dificuldades comuns e como superar:
  • Confundia a ideia porque, em situações planas ou simétricas, o ponto equidistante frequentemente aparece visualmente no meio. A dica prática é sempre verificar: está sobre o segmento? Se não estiver, pode ser equidistante sem ser o médio.
  • Técnica rápida para prova/segunda via: para verificar equidistância calcule d(X,A) e d(X,B); para verificar ponto médio calcule a média das coordenadas de A e B e compare com X.
Fica tranquilo: é uma confusão comum e agora, com as fórmulas e com o exemplo numérico, a diferença fica bem clara — e tens um procedimento direto para checar em prova.

Resposta

(a) O ponto médio M=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2},\dfrac{z_{1}+z_{2}}{2}\right) satisfaz d(A,M)=d(B,M)=\dfrac{1}{2}\,d(A,B).
(b) d(A,P)=d(B,P)=\sqrt{14}. O ponto médio M de AB é M=(3,0,2). Tem-se M\neq P.
(c) Antes havia a confusão entre “equidistante” e “estar no ponto médio”; agora ficou claro que o conjunto de pontos equidistantes forma o plano mediador e que apenas a interseção desse plano com o segmento é o ponto médio.

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