Dados os vetores vec{u}=(-1,1), \vec{v}=(-3,4) e vec{w}=(8,-6), calcule:
h) \left\|\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}\right\|
Passo 1
O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(-1,1), \vec{v}=(-3,4) e \vec{w}=(8,-6).
A pergunta específica (item h) é calcular
\left\|\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}\right\|.
Lista das informações relevantes: o vetor \vec{u} tem componentes -1 e 1, e será necessário usar a norma (módulo) de \vec{u}.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar. Para um vetor \vec{x}=(x_1,x_2) em \mathbb{R}^2, a norma (ou comprimento) é
\|\vec{x}\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2},
onde x_1 e x_2 são as componentes do vetor. Esta fórmula é a extensão do teorema de Pitágoras ao plano: a norma é a distância da origem ao ponto (x_1,x_2).
Passo 3
Calcular a norma de \vec{u}. Aplicando a fórmula com x_1=-1 e x_2=1:
ou seja, dividir um vetor pelo seu comprimento produz um vetor unitário (de norma 1). Isso evita ter que fazer contas toda vez: sempre que ver \left\|\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}\right\| a resposta será 1, desde que \vec{u}\neq\vec{0}.