Dados os vetores vec{u}=(-1,1), \vec{v}=(-3,4) e vec{w}=(8,-6), calcule:
h) \left\|\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}\right\|

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
\vec{u}=(-1,1), \vec{v}=(-3,4) e \vec{w}=(8,-6).
A pergunta específica (item h) é calcular
\left\|\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}\right\|.
Lista das informações relevantes: o vetor \vec{u} tem componentes -1 e 1, e será necessário usar a norma (módulo) de \vec{u}.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar. Para um vetor \vec{x}=(x_1,x_2) em \mathbb{R}^2, a norma (ou comprimento) é
\|\vec{x}\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2},
onde x_1 e x_2 são as componentes do vetor. Esta fórmula é a extensão do teorema de Pitágoras ao plano: a norma é a distância da origem ao ponto (x_1,x_2).

Passo 3

Calcular a norma de \vec{u}. Aplicando a fórmula com x_1=-1 e x_2=1:
\|\vec{u}\|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 4

Escrever o vetor \dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} dividindo cada componente pelo escalar \|\vec{u}\|=\sqrt{2}:
\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}=\left(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 5

Calcular a norma do vetor normalizado pelo procedimento direto (somando quadrados das componentes e tirando raiz):
\left\|\left(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\| =\sqrt{\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} =\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} =\sqrt{1}=1.

Passo 6

Comentário geral (uma propriedade útil para a prova). Para qualquer vetor não nulo \vec{u} vale a propriedade
\left\|\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}\right\|=\frac{1}{\|\vec{u}\|}\,\|\vec{u}\|=1,
ou seja, dividir um vetor pelo seu comprimento produz um vetor unitário (de norma 1). Isso evita ter que fazer contas toda vez: sempre que ver \left\|\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}\right\| a resposta será 1, desde que \vec{u}\neq\vec{0}.

Resposta

1

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