Determine os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma bomba axial com os seguintes dados: a) diâmetro externo De = 400 mm , b) diâmetro interno Di =200 \mathrm{~mm}, c) vazão =0,68 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, d) rotação \mathrm{n}=800 RPM, e) ângulo construtivo na saída \beta 5=50^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede que determinemos os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma bomba axial, usando os dados fornecidos. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisamos obter.
Dados fornecidos:
\text{Diâmetro externo }D_e = 400\\ \mathrm{mm} = 0{,}400\\ \mathrm{m}â
\text{Diâmetro interno }D_i = 200\\ \mathrm{mm} = 0{,}200\\ \mathrm{m}â
\text{Vazão }Q = 0{,}68\\ \mathrm{m^3/s}ã
\text{Rotação }n = 800\\ \mathrm{RPM}çã
\text{Ângulo construtivo na saída } \beta_5 = 50^\circÂí
O que vou determinar (elementos dos triângulos de velocidade) para as duas posições (entrada e saída) em dois raios representativos: externo (correspondente a D_e) e interno (correspondente a D_i):
  • componente axial da velocidade absoluta C_m,
  • componente tangencial da velocidade absoluta C_u (na entrada e na saída),
  • velocidade absoluta total C,
  • componentes da velocidade relativa W_m (axial) e W_u (tangencial),
  • velocidade relativa total W,
  • ângulos associados: \beta (ângulo da velocidade relativa, medido a partir do eixo axial) e \alpha (ângulo da velocidade absoluta).
Observações iniciais (hipóteses padrão, explicarei por que uso elas nos passos seguintes):
  • Vou assumir que a entrada é axial sem pré-giro, ou seja, \,C_{u1}=0.
  • O componente axial da velocidade absoluta é o mesmo em todo o anel (fluxo uniformemente distribuído): C_m = Q/A, com A área anular entre D_i e D_e.
  • O ângulo construtivo \beta_5=50^\circ será tratado como o ângulo entre a velocidade relativa de saída W_5 e o eixo axial (convenção usual em máquinas axiais): \tan\beta_5 = W_{u5}/W_m.

Passo 2

Calcular a velocidade axial (componentes de escoamento) e a área anular.
Área anular entre os diâmetros:
A=\frac{\pi}{4}\left(D_e^{2}-D_i^{2}\right)
Substituindo:
A=\frac{\pi}{4}\left(0{,}400^{2}-0{,}200^{2}\right)=\frac{\pi}{4}(0{,}16-0{,}04)=0{,}03\pi\\ \mathrm{m^{2}}
A\approx 0{,}0942478\\ \mathrm{m^{2}}
Velocidade axial (componente meridional) uniforme:
C_m=\frac{Q}{A}
C_m=\frac{0{,}68}{0{,}0942478}\approx 7{,}22\\ \mathrm{m/s}
Explicação didática: A vazão volumétrica Q passa por toda a seção anular; se o escoamento for aproximadamente uniforme ao longo do anel, a velocidade axial média é simplesmente Q dividido pela área disponível. Isso é o que usamos para os triângulos: a componente axial C_m é a mesma em todos os pontos radiais (modelo idealizado).

Passo 3

Calcular a velocidade periférica (de pala) u nos raios interno e externo a partir da rotação.
Converter rotação para velocidade angular:
\omega = \frac{2\pi n}{60}
\omega = \frac{2\pi\cdot 800}{60}=\frac{1600\pi}{60}=\frac{80\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}\approx 83{,}776\\ \mathrm{rad/s}
Raios:
r_e=\frac{D_e}{2}=0{,}200\\ \mathrm{m},\quad r_i=\frac{D_i}{2}=0{,}100\\ \mathrm{m}
Velocidades periféricas:
u_e=\omega r_e\approx 83{,}776\cdot 0{,}200 \approx 16{,}76\\ \mathrm{m/s}
u_i=\omega r_i\approx 83{,}776\cdot 0{,}100 \approx 8{,}38\\ \mathrm{m/s}
Explicação didática: a velocidade tangencial da pá num determinado raio r é u=\omega r. Ela é importante porque a diferença entre a velocidade absoluta do fluido e essa velocidade dá a velocidade relativa vista pela pá.

Passo 4

Triângulos de velocidade na entrada (estação 1). Hipótese: entrada axial sem pré-giro, logo C_{u1}=0.
Componentes na entrada:
C_{m1}=C_m=7{,}22\\ \mathrm{m/s},\qquad C_{u1}=0
Componente tangencial da velocidade relativa na entrada:
W_{u1}=C_{u1}-u=-u
Para o raio externo:
W_{u1,e}=-u_e\approx -16{,}76\\ \mathrm{m/s}
Para o raio interno:
W_{u1,i}=-u_i\approx -8{,}38\\ \mathrm{m/s}
Módulo da velocidade relativa na entrada:
W_{1}=\sqrt{W_{m1}^{2}+W_{u1}^{2}}=\sqrt{C_{m}^{2}+W_{u1}^{2}}
W_{1,e}=\sqrt{7{,}22^{2}+(-16{,}76)^{2}}\approx 18{,}24\\ \mathrm{m/s}
W_{1,i}=\sqrt{7{,}22^{2}+(-8{,}38)^{2}}\approx 11{,}06\\ \mathrm{m/s}
Ângulo da velocidade relativa na entrada (medido a partir do eixo axial):
\beta_{1}=\arctan\left(\frac{|W_{u1}|}{W_{m1}}\right)=\arctan\left(\frac{u}{C_m}\right)
\beta_{1,e}=\arctan\left(\frac{16{,}76}{7{,}22}\right)\approx 66{,}8^\circ
\beta_{1,i}=\arctan\left(\frac{8{,}38}{7{,}22}\right)\approx 49{,}0^\circ
Observações: A velocidade absoluta na entrada é apenas axial (módulo C_{1}=C_m). O sinal negativo em W_{u1} indica que a componente tangencial da velocidade relativa entra oposta ao sentido de rotação (o que é esperado quando o fluido entra axialmente e a pá está girando).

Passo 5

Triângulos de velocidade na saída (estação 5). Usamos \beta_5=50^\circ como ângulo da velocidade relativa em saída medido a partir do eixo axial (convenção usual).
Primeiro relacionamos \beta_5 com os componentes de W_5:
\tan\beta_5=\frac{W_{u5}}{W_m}
Como W_m=C_m (componentes axiais coincidem no modelo usado):
W_{u5}=W_m\tan\beta_5=C_m\tan\beta_5
Calcular:
\tan(50^\circ)\approx 1{,}1918
W_{u5}=7{,}22\cdot 1{,}1918\approx 8{,}60\\ \mathrm{m/s}
Note que W_{u5} é o mesmo para ambos os raios (porque W_m é o mesmo).
Velocidade relativa total na saída:
W_{5}=\sqrt{W_m^{2}+W_{u5}^{2}}=\sqrt{7{,}22^{2}+8{,}60^{2}}\approx 11{,}23\\ \mathrm{m/s}
Agora a componente tangencial da velocidade absoluta na saída:
C_{u5}=W_{u5}+u
Para o raio externo:
C_{u5,e}=8{,}60+16{,}76\approx 25{,}36\\ \mathrm{m/s}
Para o raio interno:
C_{u5,i}=8{,}60+8{,}38\approx 16{,}98\\ \mathrm{m/s}
Módulo da velocidade absoluta na saída:
C_{5}=\sqrt{C_m^{2}+C_{u5}^{2}}
C_{5,e}=\sqrt{7{,}22^{2}+25{,}36^{2}}\approx 26{,}36\\ \mathrm{m/s}
C_{5,i}=\sqrt{7{,}22^{2}+16{,}98^{2}}\approx 18{,}45\\ \mathrm{m/s}
Ângulo da velocidade absoluta na saída (medido a partir do eixo axial):
\alpha_5=\arctan\left(\frac{C_{u5}}{C_m}\right)
\alpha_{5,e}=\arctan\left(\frac{25{,}36}{7{,}22}\right)\approx 74{,}3^\circ
\alpha_{5,i}=\arctan\left(\frac{16{,}98}{7{,}22}\right)\approx 67{,}0^\circ
Explicação didática: a velocidade relativa na saída tem um ângulo \beta_5 imposto pela geometria da pá; a parte tangencial dessa velocidade (que é independente do raio) somada à velocidade da pala u resulta na componente tangencial absoluta C_{u5}. A magnitude e o ângulo da velocidade absoluta definem o triângulo absoluto na saída.

Passo 6

Resumo numérico dos elementos dos triângulos (valores arredondados e organizados por estação e raio). Estes são os valores que você desenha nos triângulos de velocidade: componentes axiais, tangenciais, velocidades totais e ângulos.
(Tudo calculado conforme mostrado nos passos anteriores; os valores numéricos foram arredondados a 3 algarismos significativos quando pertinente.)

Resposta

Diâmetro externo ( D_e=400\\ \mathrm{mm}, raio r_e=0{,}200\\ \mathrm{m}):
C_m = 7{,}22\\ \mathrm{m/s}
Entrada: C_{u1}=0, C_1=7{,}22\\ \mathrm{m/s}, W_{u1}=-16{,}76\\ \mathrm{m/s}, W_1=18{,}24\\ \mathrm{m/s}, \beta_{1}=66{,}8^\circ
Saída: W_{u5}=8{,}60\\ \mathrm{m/s}, W_5=11{,}23\\ \mathrm{m/s}, C_{u5}=25{,}36\\ \mathrm{m/s}, C_5=26{,}36\\ \mathrm{m/s}, \beta_{5}=50^\circ, \alpha_{5}=74{,}3^\circ
Diâmetro interno ( D_i=200\\ \mathrm{mm}, raio r_i=0{,}100\\ \mathrm{m}):
C_m = 7{,}22\\ \mathrm{m/s}
Entrada: C_{u1}=0, C_1=7{,}22\\ \mathrm{m/s}, W_{u1}=-8{,}38\\ \mathrm{m/s}, W_1=11{,}06\\ \mathrm{m/s}, \beta_{1}=49{,}0^\circ
Saída: W_{u5}=8{,}60\\ \mathrm{m/s}, W_5=11{,}23\\ \mathrm{m/s}, C_{u5}=16{,}98\\ \mathrm{m/s}, C_5=18{,}45\\ \mathrm{m/s}, \beta_{5}=50^\circ, \alpha_{5}=67{,}0^\circ

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