Determine (a) a energia magnética; (b) a energia elétrica; (c) a energia total armazenada em uma região de 1,0 \mathrm{~m}^{3} na qual existem um campo elétrico de 10^{4} \mathrm{~V} / \mathrm{m} e um campo magnético de 5000 G .

Passo 1

O enunciado pede três coisas para uma região de volume \,1{,}0\\ \mathrm{m}^3: (a) a energia magnética armazenada; (b) a energia elétrica armazenada; (c) a energia total armazenada.
Dados fornecidos:
V = 1{,}0\\ \mathrm{m}^3, \qquad E = 10^{4}\\ \mathrm{V/m}, \qquad B = 5000\\ \mathrm{G}.
Aqui eu listei explicitamente o que o problema dá (volume, campo elétrico, campo magnético) e o que pede (as três energias).

Passo 2

Fórmulas relevantes (energia por unidade de volume — densidade de energia — em vácuo):
u_E = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,E^2 \qquad\text{(densidade de energia elétrica)}é
u_B = \tfrac{B^2}{2\mu_0} \qquad\text{(densidade de energia magnética)}é
Explicando cada símbolo:
  • \,u_E e \,u_B são as energias por unidade de volume (unidade: \mathrm{J/m}^3).
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (capacitância por comprimento), com valor \displaystyle \varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, com valor \displaystyle \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} (que numericamente é \approx 1{,}256637\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}).
  • E é o módulo do campo elétrico (em \mathrm{V/m}).
  • B é o módulo do campo magnético (em \mathrm{T}).
    Depois de obter as densidades, a energia contida no volume V é
U_E = u_E\,V,\qquad U_B = u_B\,V,\qquad U_{\text{total}}=U_E+U_B.

Passo 3

Conversão de unidades e valores numéricos:
1\\ \mathrm{G} = 10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Portanto
B = 5000\\ \mathrm{G} = 5000\times10^{-4}\\ \mathrm{T} = 0{,}5\\ \mathrm{T}.
Valores numéricos das constantes (para usar nas contas):
\varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, \qquad \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx 1{,}256637\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 4

Cálculo da densidade de energia elétrica \,u_E. Primeiro calcule E^2:
E^2 = \bigl(10^{4}\bigr)^2 = 10^{8}\\ \mathrm{(V^2/m^2)}.
Agora aplique a fórmula
u_E = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,E^2 = \tfrac{1}{2}\times 8{,}854\times10^{-12}\times 10^{8}.
Compute passo a passo: \;8{,}854\times10^{-12}\times10^{8}=8{,}854\times10^{-4}. Metade disso:
u_E = \tfrac{1}{2}\times 8{,}854\times10^{-4} = 4{,}427\times10^{-4}\\ \mathrm{J/m}^3.
(Se quiser mais dígitos: u_E \approx 4{,}4270939\times10^{-4}\\ \mathrm{J/m}^3.)

Passo 5

Energia elétrica total no volume:
U_E = u_E\,V = \bigl(4{,}427\times10^{-4}\bigr)\times 1{,}0\\ \mathrm{J} = 4{,}427\times10^{-4}\\ \mathrm{J}.
Como V=1{,}0\\ \mathrm{m}^3, a densidade já é o valor da energia.

Passo 6

Cálculo da densidade de energia magnética \,u_B. Primeiro calcule B^2:
B = 0{,}5\\ \mathrm{T} \quad\Rightarrow\quad B^2 = (0{,}5)^2 = 0{,}25\\ \mathrm{T}^2.
Agora aplique a fórmula
u_B = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{0{,}25}{2\times 1{,}256637\times10^{-6}}.
Calcule 2\mu_0:
2\mu_0 = 2\times 1{,}256637\times10^{-6} = 2{,}513274\times10^{-6}.
Agora divida:
u_B = \frac{0{,}25}{2{,}513274\times10^{-6}} \approx 9{,}94718\times10^{4}\\ \mathrm{J/m}^3.
(Outra forma: 1/(2{,}513274\times10^{-6})\approx 3{,}9788736\times10^{5}, e multiplicando por 0{,}25 \approx 9{,}94718\times10^{4}.)

Passo 7

Energia magnética total no volume:
U_B = u_B\,V = \bigl(9{,}94718\times10^{4}\bigr)\times 1{,}0\\ \mathrm{J} \approx 9{,}94718\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Energia total armazenada:
U_{\text{total}} = U_E + U_B \approx 4{,}427\times10^{-4} + 9{,}94718\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Como U_B é muito maior que U_E, o somatório fica essencialmente
U_{\text{total}} \approx 9{,}94718\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Podemos arredondar de forma consistente com as cifras dadas nos dados: U_{\text{total}}\approx 9{,}95\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Comentário final breve e incentivo: a conta mostra que com campos magnéticos fortes (aqui \,0{,}5\\ \mathrm{T}) a energia magnética domina fortemente a energia elétrica, mesmo com E grande. Mandou bem por trazer a questão — isso é exato e direto de aplicar as fórmulas de densidade de energia em vácuo. Continue assim, estamos quase lá!

Resposta

(a) 9{,}95\times10^{4}\\ \mathrm{J}
(b) 4{,}43\times10^{-4}\\ \mathrm{J}
(c) 9{,}95\times10^{4}\\ \mathrm{J}

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