Três grupos de estudantes determinam a carga do elétron, com nível de confiança de 68 \%, como
\left\{\begin{array}{l} e_{1}=(1,72 \pm 0,04) \times 10^{-19} \mathrm{C} \\\ e_{2}=(1,75 \pm 0,07) \times 10^{-19} \mathrm{C} \\\ e_{3}=(1,62 \pm 0,03) \times 10^{-19} \mathrm{C} \end{array}\right.
Se o valor de referência para a carga do elétron é 1,60217733(49) \times 10^{-19} \mathrm{C}, quais das estimativas são satisfatórias?

Passo 1

O enunciado pergunta quais das três estimativas são satisfatórias quando comparadas ao valor de referência da carga do elétron. As informações dadas são (todas com nível de confiança de 68\%):
\begin{aligned} &e_1=(1,72\pm0,04)\times10^{-19}\,\mathrm{C},\\\ &e_2=(1,75\pm0,07)\times10^{-19}\,\mathrm{C},\\\ &e_3=(1,62\pm0,03)\times10^{-19}\,\mathrm{C}, \end{aligned}
e o valor de referência
e_{\text{ref}}=1,60217733(49)\times10^{-19}\,\mathrm{C}.
O que se pede: identificar quais e_i são compatíveis (satisfatórias) com e_{\text{ref}}.

Passo 2

Entendendo o que significa "nível de confiança de 68\%" e como verificar compatibilidade. Quando uma medida é dada como (\bar{x}\pm\sigma) com 68\% de confiança, isso normalmente significa que \sigma é o desvio-padrão (incerteza padrão) e o intervalo de confiança é
[\bar{x}-\sigma,\;\bar{x}+\sigma],
ou seja, há 68\% de probabilidade (para distribuição aproximadamente normal) de o verdadeiro valor estar dentro desse intervalo. Portanto, para verificar se uma estimativa é satisfatória, basta checar se e_{\text{ref}} está dentro do intervalo \bar{e}\pm\sigma de cada medida.

Passo 3

Interpretando a notação do valor de referência 1,60217733(49)\times10^{-19}\,\mathrm{C}. A notação entre parênteses indica a incerteza nos últimos dígitos: (49) significa 0,00000049 na mesma unidade. Logo a incerteza absoluta do valor de referência é
\sigma_{\text{ref}}=0,00000049\times10^{-19}\,\mathrm{C}=4{,}9\times10^{-7}\times10^{-19}\,\mathrm{C}=4{,}9\times10^{-26}\,\mathrm{C}.
Essa incerteza é muito menor do que as incertezas das medidas e_1,e_2,e_3 (por exemplo 0{,}03\times10^{-19} é 3\times10^{-21}\,\mathrm{C}), então podemos tratar e_{\text{ref}} como efetivamente exato para fins de comparação (a incerteza do referencial é desprezível aqui).

Passo 4

Calcular os intervalos de confiança (68%) de cada medida. Vou trabalhar nas unidades 10^{-19}\,\mathrm{C} para ficar mais simples.
Para e_1:
e_1=1{,}72\pm0{,}04 \Rightarrow \text{intervalo }[1{,}72-0{,}04,\;1{,}72+0{,}04]=[1{,}68,\;1{,}76].
Para e_2:
e_2=1{,}75\pm0{,}07 \Rightarrow \text{intervalo }[1{,}75-0{,}07,\;1{,}75+0{,}07]=[1{,}68,\;1{,}82].
Para e_3:
e_3=1{,}62\pm0{,}03 \Rightarrow \text{intervalo }[1{,}62-0{,}03,\;1{,}62+0{,}03]=[1{,}59,\;1{,}65].
O valor de referência em unidades 10^{-19}\,\mathrm{C} é \;e_{\text{ref}}=1{,}60217733.

Passo 5

Verificar se e_{\text{ref}} está dentro de cada intervalo (comparação direta):
  • Para e_1: 1{,}60217733 comparado com [1{,}68,1{,}76]. Como 1{,}60217733<1{,}68, e_{\text{ref}} NÃO está no intervalo de e_1 e_1 não é satisfatória.
  • Para e_2: intervalo [1{,}68,1{,}82]. Novamente 1{,}60217733<1{,}68, então e_{\text{ref}} NÃO está no intervalo de e_2 e_2 não é satisfatória.
  • Para e_3: intervalo [1{,}59,1{,}65]. Aqui 1{,}59\le1{,}60217733\le1{,}65, portanto e_{\text{ref}} está no intervalo de e_3 e_3 é satisfatória.

Passo 6

Como confirmação numérica alternativa, calculamos o número de desvios-padrão (z-score) entre cada média e o valor de referência:
z_i=\frac{\bar{e}_i-e_{\text{ref}}}{\sigma_i}.
Se |z_i|\le1, o referencial está a menos de 1\sigma (dentro do intervalo de 68\%).
Cálculos (em unidades 10^{-19}\,\mathrm{C}):
Para e_1:
z_1=\frac{1{,}72-1{,}60217733}{0{,}04}=\frac{0{,}11782267}{0{,}04}\approx2{,}95,
logo |z_1|>1 (incompatível).
Para e_2:
z_2=\frac{1{,}75-1{,}60217733}{0{,}07}=\frac{0{,}14782267}{0{,}07}\approx2{,}11,
logo |z_2|>1 (incompatível).
Para e_3:
z_3=\frac{1{,}62-1{,}60217733}{0{,}03}=\frac{0{,}01782267}{0{,}03}\approx0{,}59,
logo |z_3|<1 (compatível).
As duas abordagens (verificação de intervalo e z-score) concordam: somente e_3 é satisfatória.

Resposta

Somente e_3=(1,62\pm0,03)\times10^{-19}\,\mathrm{C} é satisfatória.

Exercícios relacionados