Após determinar a velocidade do som em várias baterias de medidas, a dispersão em cada uma das baterias, caracterizada pelo desvio-padrão, foi da ordem de \sigma_{v}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Quantas medidas são necessárias, em uma bateria, para que a incerteza na estimativa-padrão da velocidade seja da ordem de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado nos dá a dispersão (desvio-padrão) das medidas de velocidade do som em cada bateria como \sigma_{v}=10\\ \mathrm{m/s} e pede: quantas medidas n são necessárias em uma bateria para que a incerteza na estimativa da velocidade seja da ordem de 3\\ \mathrm{m/s}.
Informações relevantes listadas: \sigma_{v}=10\\ \mathrm{m/s} e incerteza desejada =3\\ \mathrm{m/s}. A incógnita é o número de medidas n.

Passo 2

Conceito chave (explicado de forma simples): quando fazemos n medidas independentes com desvio-padrão individual \sigma, a incerteza (erro padrão) na média amostral é dada por
\text{erro padrão}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.ã
O que isso significa: \sigma é a dispersão típica de uma única medida; dividir por \sqrt{n} mostra que, ao tirar a média de n medidas, a incerteza sobre essa média diminui com a raiz quadrada do número de medidas. Cada variável usada: \sigma = desvio-padrão das medidas (aqui \sigma_{v}), n = número de medidas, \sqrt{n} = raiz quadrada de n.

Passo 3

Aplicamos a fórmula impondo que o erro padrão desejado seja 3\\ \mathrm{m/s}. Escrever a equação:
\frac{\sigma_{v}}{\sqrt{n}}=3\\ \mathrm{m/s}.
Isolando n: primeiro multiplicamos ambos os lados por \sqrt{n} e dividimos por 3:
\sigma_{v}=3\sqrt{n}.
Agora dividimos por 3 e elevamos ao quadrado:
\sqrt{n}=\frac{\sigma_{v}}{3}\quad\Rightarrow\quad n=\left(\frac{\sigma_{v}}{3}\right)^{2}.

Passo 4

Substituímos \sigma_{v}=10\\ \mathrm{m/s}:
n=\left(\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}\approx 11{,}11\ldots
Isso significa que teoricamente seriam necessários aproximadamente 11{,}11 medidas, mas n deve ser um número inteiro de medidas.

Passo 5

Decisão sobre arredondamento: como queremos que a incerteza seja, no máximo, 3\\ \mathrm{m/s}, precisamos garantir \frac{10}{\sqrt{n}}\le 3. Portanto devemos arredondar para cima (ceiling) para garantir a condição. Verificação rápida:
n=11\Rightarrow \frac{10}{\sqrt{11}}\approx\frac{10}{3{,}316}=3{,}015>3\\ (\text{ainda maior que }3),
n=12\Rightarrow \frac{10}{\sqrt{12}}\approx\frac{10}{3{,}464}=2{,}887<3\\ (\text{ok}).
Portanto o menor inteiro n que satisfaz a condição é 12.

Resposta

12

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