Determine a energia E e a potência média P dos sinais abaixo:
x[n]=cos (pi2 n)

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado manda a gente achar a energia E e a potência média P do sinal discreto
x[n]=cos!l(tfracpi2,nr),
Isso é conteúdo de processamento de sinais (sinais discretos). Para resolver precisamos lembrar as definições:
- Energia de um sinal discreto:
E = sumn=-infty^infty |x[n]|^2
  • Potência média de um sinal discreto: P = limNtoinfty12N+1sumn=-N^N|x[n]|^2

Passo 2

Vamos primeiro ver a energia. A ideia aqui é somar infinito de quadrados de cosseno:
E = sumn=-infty^infty cos^2!l(tfracpi2nr)
Mas note que nosso sinal é periódico, porque
cos!l(tfracpi2(n+N0)r)=cos!l(tfracpi2n+tfracpi2N0r)
e a gente quer tfracpi2N0=2pi k, para algum inteiro k. Basta N0=4 e k=1.
Em sinais periódicos a soma infinita de quadrados não converge (você fica repetindo o mesmo padrão para sempre), então
E = sumn=-infty^inftycos^2!l(tfracpi2nr) = infty

Passo 3

Agora a potência média. Como o sinal é periódico de período N0=4, a gente pode computar
P = 1N0sumn=0^N0-1cos^2!l(tfracpi2nr)
Vamos ver termo a termo para n=0,1,2,3:
- n=0:;cos^2(0)=1
- n=1:;cos^2(tfracpi2)=0
- n=2:;cos^2(pi)=1
- n=3:;cos^2(tfrac3pi2)=0
Então
P = 14,(1+0+1+0) = 24 = tfrac12

Resposta

Energia: E = infty
Potência média: P = tfrac12

Exercícios relacionados