Determine a energia potencial de cada uma das seguintes forças caso seja conservativa:
Frho=a rho^2 cos varphi, Fvarphi=a rho^2 sen varphi, Fz=2 a z^2.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a energia potencial U(q) ;=; -integral F(q),dq ;+;constante de três forças (radial, azimutal e axial) em coordenadas cilíndricas, caso cada uma seja conservativa. O que a gente vai usar é a ideia básica de mecânica:
– Para uma força em uma única “direção” (ou coordenada), se ela for conservativa, vale
– No caso da componente azimutal \(F_{\varphi}\), o elemento de deslocamento é \(ds=\rho\,d\varphi\), então a integral vira \(-\!\int F_{\varphi}\,\rho\,d\varphi\).  
Vamos aplicar isso para cada força.

Passo 2

Componente radial Urho(rho,varphi) ;=; - integral Frho,drho ;=; - integral a,rho^2cosvarphi,drho ;=; -,acosvarphi;rho^33 ;+;C1(varphi,z) .
A gente trata Urho(rho,varphi) = -a3,rho^3cosvarphi como constante (fixo), e integra em :

Como estamos isolando só essa contribuição, podemos absorver numa constante geral. Então:
[
U_{\rho}(\rho,\varphi)

-\frac{a}{3},\rho^{3}\cos\varphi.
]

Passo 3

Componente azimutal Uvarphi(rho,varphi) = - integral Fvarphi,ds = - integral a,rho^2sinvarphi;(rho,dvarphi) = -,a,rho^3integral sinvarphi,dvarphi = -,a,rho^3(-cosvarphi) = a,rho^3cosvarphi ;+;C2(rho,z) .
Aqui o deslocamento infinitesimal é Uvarphi(rho,varphi) = a,rho^3cosvarphi , logo
[
U_{\varphi}(\rho,\varphi)

  • \int F_{\varphi},ds
    =
  • \int a,\rho^{2}\sin\varphi;(\rho,d\varphi)
    =
    -,a,\rho^{3}\int \sin\varphi,d\varphi
    =
    -,a,\rho^{3}(-\cos\varphi)
    =
    a,\rho^{3}\cos\varphi
    ;+;C_{2}(\rho,z).
    ]

De novo, junta tudo numa constante geral, e fica
[
U_{\varphi}(\rho,\varphi)

a,\rho^{3}\cos\varphi.
]

Passo 4

Componente axial Uz(z) = - integral Fz,dz = - integral 2,a,z^2,dz = -,2a;z^33 ;+;C3(rho,varphi) .
Agora é a integral usual em Uz(z) = -2a3,z^3 :
[
U_{z}(z)

  • \int F_{z},dz
    =
  • \int 2,a,z^{2},dz
    =
    -,2a;\frac{z^{3}}{3}
    ;+;C_{3}(\rho,\varphi).
    ]

Eliminando a constante extra, sobra
[
U_{z}(z)

-\frac{2a}{3},z^{3}.
]

Resposta

As energias potenciais (até constantes) são
boxed Urho(rho,varphi)&=-a3,rho^3cosvarphi, Uvarphi(rho,varphi)&=,a,rho^3cosvarphi, Uz(z)&=-2a3,z^3

Exercícios relacionados