Determine a energia potencial de cada uma das seguintes forças caso seja conservativa:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a energia potencial
de três forças (radial, azimutal e axial) em coordenadas cilíndricas, caso cada uma seja conservativa. O que a gente vai usar é a ideia básica de mecânica:
– Para uma força em uma única “direção” (ou coordenada), se ela for conservativa, vale
– Para uma força em uma única “direção” (ou coordenada), se ela for conservativa, vale
– No caso da componente azimutal \(F_{\varphi}\), o elemento de deslocamento é \(ds=\rho\,d\varphi\), então a integral vira \(-\!\int F_{\varphi}\,\rho\,d\varphi\).
Vamos aplicar isso para cada força.
Passo 2
Componente radial
.
A gente trata como constante (fixo), e integra em
:
A gente trata
Como estamos isolando só essa contribuição, podemos absorver
numa constante geral. Então:
[
U_{\rho}(\rho,\varphi)
-\frac{a}{3},\rho^{3}\cos\varphi.
]
]
Passo 3
Componente azimutal
.
Aqui o deslocamento infinitesimal é
, logo
[
U_{\varphi}(\rho,\varphi)
- \int F_{\varphi},ds
= - \int a,\rho^{2}\sin\varphi;(\rho,d\varphi)
=
-,a,\rho^{3}\int \sin\varphi,d\varphi
=
-,a,\rho^{3}(-\cos\varphi)
=
a,\rho^{3}\cos\varphi
;+;C_{2}(\rho,z).
]
De novo, junta tudo numa constante geral, e fica
[
U_{\varphi}(\rho,\varphi)
a,\rho^{3}\cos\varphi.
]
]
Passo 4
Componente axial
.
Agora é a integral usual em
:
[
U_{z}(z)
- \int F_{z},dz
= - \int 2,a,z^{2},dz
=
-,2a;\frac{z^{3}}{3}
;+;C_{3}(\rho,\varphi).
]
Eliminando a constante extra, sobra
[
U_{z}(z)
-\frac{2a}{3},z^{3}.
]
]
Resposta
As energias potenciais (até constantes) são