Diga quais das seguintes forças são conservativas e determine a energia potencial para as que forem:
Fx=18 a b y z^3-20 b x^3 y^2, Fy=18 a b x z^3-10 b x^4 y, Fz=6 a b x y z^2.

Passo 1

Beleza, então o enunciado nos dá um campo de força em 3D com componentes
Fx=18ab,y,z^3-20b,x^3y^2, Fy=18ab,x,z^3-10b,x^4y, Fz=6ab,x,y,z^2
E a pergunta é: esse campo é conservativo? Se for, qual é a energia potencial U(x,y,z) associada?
Conteúdo: cálculo vetorial (campo conservativo, rotacional/curl) e integração para achar potencial. Vamos precisar do conceito de curl e do fato de que, num domínio simples, força é conservativa se e só se nablatimes F=0.

Passo 2

Teoria na prática:
  1. Um campo F=(Fx,Fy,Fz) é conservativo quando não “gira” localmente, ou seja, seu rotacional é zero: nablatimes F=(partialyFz-partialzFy,;partialzFx-partialxFz,;partialxFy-partialyFx)=0
    2) Se isso vale em todo o espaço (domínio simplesmente conexo), existe uma função U(x,y,z) tal que F=-nabla U.
    3) Se o rotacional não for zero, já era: não é conservativo e não tem potencial escalar global.

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente x:
    (nablatimes F)x = partialyFz - partialzFy
    - partialyFz = partialy(6ab,x,y,z^2) = 6ab,x,z^2
    - partialzFy = partialz(18ab,x,z^3 -10b,x^4y) = 54ab,x,z^2
    Logo
    (nablatimes F)x = 6ab,x,z^2 - 54ab,x,z^2 = -48ab,x,z^2 neq 0(em >=ral)
  2. Para conferir, dá para ver que as outras componentes também não são todas zero (por exemplo, a componente y ou z virá algo como 48ab,y,z^2, etc.).

Passo 4

Como já encontramos
(nablatimes F)x neq 0,
o campo não é conservativo. Não faz sentido procurar uma energia potencial única definida globalmente.

Resposta

O campo de forças não é conservativo (pois nablatimes Fneq0), portanto não existe energia potencial U(x,y,z) que o gere.

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