Diga quais das seguintes forças são conservativas e determine a energia potencial para as que forem:
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado nos dá um campo de força em 3D com componentes
E a pergunta é: esse campo é conservativo? Se for, qual é a energia potencial
Conteúdo: cálculo vetorial (campo conservativo, rotacional/curl) e integração para achar potencial. Vamos precisar do conceito de curl e do fato de que, num domínio simples, força é conservativa se e só se
Passo 2
Teoria na prática:
- Um campo
é conservativo quando não “gira” localmente, ou seja, seu rotacional é zero:
2) Se isso vale em todo o espaço (domínio simplesmente conexo), existe uma funçãotal que .
3) Se o rotacional não for zero, já era: não é conservativo e não tem potencial escalar global.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
-
Componente
:
-
-
Logo
-
Para conferir, dá para ver que as outras componentes também não são todas zero (por exemplo, a componente
ou virá algo como , etc.).
Passo 4
Como já encontramos
o campo não é conservativo. Não faz sentido procurar uma energia potencial única definida globalmente.
Resposta
O campo de forças não é conservativo (pois
), portanto não existe energia potencial
que o gere.