Questão 8

Uma partícula de massa m encontra-se sob a ação de uma força cuja energia potencial é w, onde x=d raiz2 é uma constante positiva. (a) Determine a força; (b) A partícula parte da posição v0 com velocidade vc. Mostre que, se x=d raiz2, onde vc é uma certa velocidade crítica, a partícula conseguirá escapar da região de confinamento em . Determine .

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e que assunto estamos vendo.
– Enunciado resumido: temos uma partícula de massa U(x) ;=; -,w,d^2,x^2+d^2x^4+8,d^4, sujeita a um potencial
com .
(a) Calcular a força .
(b) A partícula parte do ponto com velocidade inicial . Mostrar que, se , ela escapa da região em torno de , e determinar esse .
Conteúdo: força a partir de potencial ( ) e conservação de energia mecânica para achar velocidade crítica.
O que vamos precisar:
  • Derivar a fração de para achar .
  • Entender que “escapar” significa ter energia total ≥ 0 (já que em ).
  • Aplicar e exigir .

Passo 2

Vamos achar a força, usando a definição
F(x);=; -,dUdx
Primeiro escrevemos
U(x) = -,w,d^2,N(x)D(x), onde N(x)=x^2+d^2, ;D(x)=x^4+8d^4
Então
dUdx = -,w,d^2;N',D - N,D'D^2,
com
N'(x)=2x, D'(x)=4x^3
Substituindo:
N',D = 2x,(x^4+8d^4)=2x^5+16x,d^4, N,D'=4x^3,(x^2+d^2)=4x^5+4x^3d^2
Logo
N',D - N,D' = (2x^5+16xd^4)-(4x^5+4x^3d^2) = -2x^5 ;-;4x^3d^2 ;+;16x d^4 = -2xl(x^4+2x^2d^2-8d^4r)
Portanto
dUdx = -,w,d^2;-2x,(x^4+2x^2d^2-8d^4)(x^4+8d^4)^2 = ;2,w,d^2,x,(x^4+2x^2d^2-8d^4)(x^4+8d^4)^2
E a força é
boxed F(x)= -,dUdx = -,2,w,d^2;x,(x^4+2x^2d^2-8d^4)(x^4+8d^4)^2

Passo 3

Agora a parte (b): energia mecânica.
A condição de escape para x0^2=2d^2, x0^4=4d^4, é que a energia total seja maior ou igual a zero, pois U(x0) = -,w,d^2,2d^2+d^24d^4+8d^4 = -,w,d^2,3d^212d^4 = -,w4 .
  1. Primeiro calcule E = tfrac12,m,v0^2 + U(x0) = tfrac12,m,v0^2 - w4 em tfrac12,m,v0^2 - w4 ;>=;0 Longrightarrow tfrac12,m,v0^2 ;>=;w4 Longrightarrow v0^2 ;>=;w2m :
  1. Energia inicial:
  1. Para escapar a partícula precisa de . Assim

Resposta

boxedvc ;=;raizw2,m,,
e para a partícula escapa da região de confinamento em .

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