Questão 8
Uma partícula de massa
encontra-se sob a ação de uma força cuja energia potencial é
, onde
é uma constante positiva. (a) Determine a força; (b) A partícula parte da posição
com velocidade
. Mostre que, se
, onde
é uma certa velocidade crítica, a partícula conseguirá escapar da região de confinamento em
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e que assunto estamos vendo.
– Enunciado resumido: temos uma partícula de massa sujeita a um potencial
– Enunciado resumido: temos uma partícula de massa
com
.
(a) Calcular a força .
(b) A partícula parte do ponto com velocidade inicial
. Mostrar que, se
, ela escapa da região em torno de
, e determinar esse
.
(a) Calcular a força
(b) A partícula parte do ponto
Conteúdo: força a partir de potencial (
) e conservação de energia mecânica para achar velocidade crítica.
O que vamos precisar:
- Derivar a fração de
para achar . - Entender que “escapar” significa ter energia total ≥ 0 (já que
em ). - Aplicar
e exigir .
Passo 2
Vamos achar a força, usando a definição
Primeiro escrevemos
Então
com
Substituindo:
Logo
Portanto
E a força é
Passo 3
Agora a parte (b): energia mecânica.
A condição de escape para é que a energia total seja maior ou igual a zero, pois
.
A condição de escape para
- Primeiro calcule
em :
- Energia inicial:
- Para escapar a partícula precisa de
. Assim
Resposta
e para
a partícula escapa da região de confinamento em
.