Questão 5

Um carro cuja velocidade inicial é v0 é deslocado por uma força de atrito Fa=-b e^a v. (a) Determine a velocidade de movimento e o deslocamento; (b) Determine o tempo e a distância necessária para que o carro pare.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um carro que segue a 1ª Lei de Newton: a força resultante é a massa vezes a aceleração. A força de atrito é dada por
Fa = -,b,e^a,v,
Então o conteúdo é equação diferencial (EDO) de 1ª ordem e separação de variáveis. Vamos precisar:
  1. Escrever .
  2. Separar variáveis em e .
  3. Integrar para achar .
  4. Integrar para achar o deslocamento .
  5. Achar o tempo em que e a distância percorrida até lá.

Passo 2

Escrevendo a 1ª Lei de Newton:
m,dvdt = -,b,e^a v,
Vamos isolar dve^a v = -bm,dt, e :
Isso é separação de variáveis: tudo em de um lado, tudo em do outro.

Passo 3

Integramos os dois lados (de integralv0^v e^-a,v',dv' ;=; -bmintegral0^t dt', até l[-tfrac1a e^-a v'r]v0^v ;=; -bm,t;Longrightarrow; -1a,e^-a v + 1a,e^-a v0 = -bm,t e de 0 até e^-a v = e^-a v0 + a bm,t):
No lado esquerdo, .
Então
Multiplicando tudo por :

Passo 4

Agora isolamos e^-a v = e^-a v0 + a bm,t ;Longrightarrow; -,a,v = ln!l(e^-a v0 + a bm,tr):
v(t) = -1a,ln!l(e^-a v0 + tfraca bm,tr)

Passo 5

Para o deslocamento, usa-se x(t) = integral0^t v(t'),dt' = -1aintegral0^t ln!l(e^-a v0 + tfraca bmt'r),dt'. Então
integral ln u,dt' = integral ln u,ma bdu = ma bl(uln u - ur) + C
Fazendo a substituição x(t) = -1a,ma bl[l(uln u -ur)-l(e^-a v0ln e^-a v0 - e^-a v0r)r], x(t) = ma bl[e^-a v0( -a v0 -1) ;-;u(t)l(ln u(t)-1r)r], temos
Aplicando limites de ( ) até ( ):
Chamando isso dá (após simplificar):

Passo 6

(b) Para o carro parar, e^-acdot 0=1 = e^-a v0+a bm,trm stop ;Longrightarrow; trm stop = ma b,l(1 - e^-a v0r). Da expressão de :

Passo 7

A distância até a parada é xrm stop = ma bl[e^-a v0(-a v0 -1);-;1cdot(ln1-1)r] = ma bl[-a v0,e^-a v0 - e^-a v0 +1r]. Para e lembrando a forma de ,

Resposta

(a) Velocidade e deslocamento:
v(t) = -1a,ln!l(e^-a v0 + tfraca bm,tr), x(t) = ma bl[e^-a v0(-a v0 -1);-;l(e^-a v0+tfraca bmtr)l(ln(e^-a v0+tfraca bmt)-1r)r]
(b) Tempo e distância para parar:
trm stop = ma b,l(1 - e^-a v0r), xrm stop = ma bl[,1 - e^-a v0,(a v0 +1)r]

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