Determine a equação da assíntota vertical da função:
f(x)=\frac{5}{x-4}

Passo 1

O enunciado dá a função racional \displaystyle f(x)=\frac{5}{x-4} e pede para determinar a equação da assíntota vertical.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma razão entre um numerador constante \,5, e um denominador linear \,x-4.
  • Quer-se a(s) reta(s) vertical(is) onde a função tende a \pm\infty (se existirem).

Passo 2

O que é uma assíntota vertical (de forma prática para a prova):
Uma reta vertical x=a é assíntota vertical de uma função quando, ao aproximar x de a por valores à esquerda ou à direita, a função cresce em módulo sem limite — isto é, \lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty ou \lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty.
Para funções racionais do tipo \dfrac{P(x)}{Q(x)}, os candidatos a assíntota vertical são as raízes reais de Q(x) que NÃO são canceladas por fatores iguais no numerador P(x). Se houver cancelamento, normalmente aparece um “buraco” (ponto removível) em vez de assíntota.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: o denominador é x-4. Igualando a zero obtemos o candidato
x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4.
Agora verificar se há cancelamento com o numerador: o numerador é a constante \,5, que não possui fator (x-4). Portanto não há cancelamento — o ponto x=4 permanece como singularidade vertical possível.

Passo 4

Verificar os limites laterais para confirmar que x=4 é de fato uma assíntota vertical. Como o numerador \,5 é constante, o comportamento depende do sinal de x-4 quando x se aproxima de 4:
  • Para x\to 4^- (valores menores que 4), tem-se x-4<0 e |x-4| fica muito pequeno; assim
\lim_{x\to 4^-} \frac{5}{x-4} = -\infty.
  • Para x\to 4^+ (valores maiores que 4), tem-se x-4>0 e |x-4| fica muito pequeno; assim
\lim_{x\to 4^+} \frac{5}{x-4} = +\infty.
Como pelo menos um dos limites laterais (na verdade, ambos) diverge em módulo para infinito, isso confirma que x=4 é uma assíntota vertical.

Passo 5

Regra prática e rápida para a prova (resumindo): fatorar e simplificar a função; resolver Q(x)=0 (denominador); se alguma raiz for cancelada pelo numerador, não é assíntota (é ponto removível); se não for cancelada, testar o limite lateral para ver se dá \pm\infty. No exemplo dado, não houve cancelamento e os limites laterais divergem, então há assíntota vertical em x=4. Vai dar certo — respire fundo e confie no passo a passo.

Resposta

x=4

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