Determine a equação canônica da elipse:
Com focos F_{1}(-3,0) e F_{2}(3,0) e excentricidade \sqrt{3} / 2.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse com focos em (-3,0) e (3,0) e excentricidade e = \tfrac{\sqrt{3}}{2}. Preciso encontrar a forma canônica da elipse, ou seja,
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,
sabendo que c é a distância do centro a cada foco, a é o semi-eixo maior, b é o semi-eixo menor, e que
e = \frac{c}{a}, \quad b^2 = a^2 - c^2.

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio dos focos, que aqui é (0,0). A distância de (0,0) a cada foco é
c = 3.

Passo 3

Usamos a relação da excentricidade:
e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Então
a = \frac{c}{e} = \frac{3}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}.

Passo 4

Calculamos b a partir de
b^2 = a^2 - c^2 = (2\sqrt{3})^2 - 3^2 = 12 - 9 = 3,
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b = \sqrt{3}.

Passo 5

Como os focos estão no eixo x, a forma canônica é
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.
Substituindo a^2 = 12 e b^2 = 3, obtemos
\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{3} = 1.

Resposta

\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{3} = 1.

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