Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(g)\left\{\begin{array}{rl}3 x+5 y & =1 \\\\ 2 x+z & =3 \\\\ 5 x+y-z & =0\end{array},\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
(g)\begin{cases} 3x+5y &= 1,\\[4pt] 2x+z &= 3,\\[4pt] 5x+y-z &= 0. \end{cases}
O que se pede:
  • Resolver o sistema usando o Método de Gauss-Jordan (ou seja, transformar a matriz aumentada por operações elementares até obter a forma reduzida por linhas);
  • Classificar o sistema (se tem solução única, infinitas soluções ou é impossível).
As informações relevantes: são três equações lineares com três incógnitas x,y,z. Não há outras condições adicionais.]

Passo 2

Montar a matriz aumentada correspondente. Colocando as colunas na ordem x,y,z e a coluna dos termos constantes à direita, obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 5 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 5 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right].
Breve explicação do método (passo-a-passo do conceito usado): no Gauss-Jordan fazemos somente três tipos de operações com linhas:
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um número não nulo;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações não mudam o conjunto de soluções. O objetivo é chegar à forma reduzida por linhas (identidade à esquerda, se o sistema for determinado), de modo que cada linha dê diretamente o valor de uma incógnita.]

Passo 3

Escolher uma linha com pivô simples para começar. Vou trocar a primeira linha com a segunda porque a segunda tem coeficiente 2 em x, mais simples para trabalhar:
aplicar R_1 \leftrightarrow R_2. A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 5 & 0 & 1\\[4pt] 5 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right].
Explicação: trocar linhas é permitido e facilita escolher um pivô pequeno (aqui 2) para reduzir frações.]

Passo 4

Transformar o pivô da primeira linha em 1 dividindo a primeira linha por 2: aplicar R_1 \leftarrow \frac{1}{2}R_1. Obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 3 & 5 & 0 & 1\\[6pt] 5 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right].
Explicação didática: é conveniente ter o pivô igual a 1 para eliminar coeficientes abaixo e acima dele de forma direta.]

Passo 5

Eliminar a incógnita x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 com pivô 1.
Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1:
  • Para a coluna x: 3-3\cdot1=0.
  • Para a coluna y: 5-3\cdot0=5.
  • Para a coluna z: 0-3\cdot\frac{1}{2}= -\tfrac{3}{2}.
  • Para o termo independente: 1-3\cdot\tfrac{3}{2}=1-\tfrac{9}{2}=-\tfrac{7}{2}.
Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1:
  • Para x: 5-5\cdot1=0.
  • Para y: 1-5\cdot0=1.
  • Para z: -1-5\cdot\tfrac{1}{2}=-1-\tfrac{5}{2}=-\tfrac{7}{2}.
  • Para independente: 0-5\cdot\tfrac{3}{2}= -\tfrac{15}{2}.
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 5 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{7}{2}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{2} & -\tfrac{15}{2} \end{array}\right].
Comentário: agora a primeira coluna está “resolvida” (apenas o pivô na primeira linha). Seguimos para a coluna y.]

Passo 6

Para facilitar, trocar as linhas 2 e 3 para ter um pivô igual a 1 na segunda linha: aplicar R_2 \leftrightarrow R_3. A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{2} & -\tfrac{15}{2}\\[6pt] 0 & 5 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{7}{2} \end{array}\right].
Explicação: ter 1 como pivô evita dividir depois e torna as eliminações mais simples.]

Passo 7

Eliminar o coeficiente 5 na coluna y da terceira linha usando a segunda linha: aplicar R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2.
Calculemos cada entrada de R_3:
  • Coluna x: 0 - 5\cdot0 = 0.
  • Coluna y: 5 - 5\cdot1 = 0.
  • Coluna z: -\tfrac{3}{2} - 5\cdot\left(-\tfrac{7}{2}\right) = -\tfrac{3}{2} + \tfrac{35}{2} = \tfrac{32}{2}=16.
  • Termo independente: -\tfrac{7}{2} - 5\cdot\left(-\tfrac{15}{2}\right) = -\tfrac{7}{2} + \tfrac{75}{2} = \tfrac{68}{2}=34.
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{2} & -\tfrac{15}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 16 & 34 \end{array}\right].
Observação: a terceira linha agora tem apenas a incógnita z, coeficiente 16.]

Passo 8

Tornar o pivô da terceira linha igual a 1: dividir a terceira linha por 16: R_3 \leftarrow \frac{1}{16}R_3. Obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{2} & -\tfrac{15}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{17}{8} \end{array}\right].
Explicação: \tfrac{34}{16}=\tfrac{17}{8}. Agora a última linha diz diretamente o valor de z (mas, por regra do enunciado, o valor final será colocado apenas na seção "]

Passo 9

Fazer as eliminações acima do pivô de z para obter a forma reduzida. Eliminar z da primeira e da segunda linha.
Para a primeira linha: tem coeficiente \tfrac{1}{2} em z. Aplicar R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{2}R_3.
  • Nova entrada na coluna z: \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cdot1 = 0.
  • Termo independente: \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{17}{8} = \tfrac{3}{2} - \tfrac{17}{16} = \tfrac{24}{16} - \tfrac{17}{16} = \tfrac{7}{16}.
Para a segunda linha: tem coeficiente -\tfrac{7}{2} em z. Aplicar R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{7}{2}R_3.
  • Nova entrada em z: -\tfrac{7}{2} + \tfrac{7}{2}\cdot1 = 0.
  • Termo independente: -\tfrac{15}{2} + \tfrac{7}{2}\cdot\tfrac{17}{8} = -\tfrac{15}{2} + \tfrac{119}{16} = -\tfrac{120}{16} + \tfrac{119}{16} = -\tfrac{1}{16}.
A matriz fica na forma reduzida por linhas
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \tfrac{7}{16}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{16}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{17}{8} \end{array}\right].
Interpretação da forma reduzida: à esquerda temos a matriz identidade I_3. Isso significa que cada incógnita tem um valor único (o sistema é compatível determinado).]

Passo 10

Classificação: como a forma reduzida por linhas é a identidade na parte das incógnitas e os termos independentes são números finitos, o sistema é consistente e tem solução única.

Resposta

x=\tfrac{7}{16}
y=-\tfrac{1}{16}
z=\tfrac{17}{8}

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