Determine a equação canônica da elipse:
Com centro na origem, eixo menor igual a 6, focos no eixo dos x e passando pelo ponto (-2 \sqrt{5}, 1).

Passo 1

O enunciado pede a equação canônica de uma elipse centrada na origem, com focos no eixo x (logo o semieixo maior é a em x e o semieixo menor é b em y), tal que o eixo menor mede 6 e a elipse passa pelo ponto \bigl(-2\sqrt{5},1\bigr). Vamos usar a forma padrão
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Passo 2

Como o eixo menor tem comprimento 6, temos 2b = 6, ou seja
b = 3 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 9.

Passo 3

A elipse passa pelo ponto \bigl(-2\sqrt{5},1\bigr). Substituindo na equação
\frac{(-2\sqrt{5})^2}{a^2} \;+\;\frac{1^2}{b^2} \;=\;1
fica
\frac{20}{a^2} + \frac{1}{9} = 1.

Passo 4

Isolando \tfrac{20}{a^2} e resolvendo para a^2:
\frac{20}{a^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 20\cdot\frac{9}{8} = \frac{180}{8} = \frac{45}{2}.

Passo 5

Substituindo a^2 e b^2 na forma padrão, obtemos a equação canônica da elipse
\frac{x^2}{\tfrac{45}{2}} + \frac{y^2}{9} = 1.

Resposta

\frac{x^2}{\tfrac{45}{2}} + \frac{y^2}{9} \;=\; 1.

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